bigpo.ru
добавить свой файл
  1 ... 2 3 4 5 ... 7 8

                                                     
где α- коэффициент затухания, то из (39) следует
                 
Эта формула может быть использована, например, для нахождения коэффициента акустического затухания α в некоторой среде по измеренному коэффициенту отражения от границы раздела между звукопроводом и исследуемой средой.

2.8. Коэффициент электромеханической связи.

 

      Выше были использованы безразмерные величины (24) и (26), названные коэффициентами электромеханической связи. Они определяются физическими константами пьезоэлектрика e ,C и ε и служат его обобщенной характеристикой, во многом определяющей свойства устройств, в которых используется данный пьезоэлектрик. В литературе имеются различные определения этой величины. В [5], например, определение коэффициента электромеханической связи сопровождается следующими рассуждениями. На распространение плоских упругих волн в пьезоэлектрической среде оказывают влияние лишь продольные компоненты электростатических полей, вызванных поляризацией пьезоэлектрика. Упругие волны, сопровождаемые продольными пьезополями, называются “пьезоактивными”.Для них эффективный модуль упругости “ужесточается”. Величина этого “ужесточения” и определяет коэффициент электромеханической связи, который дается формулой
                                                  
где C - “неужесточенный” модуль упругости пьезоэлектрика, C* - “ужесточеный” за счет пьезоэффекта модуль упругости.
       Из рассмотренных выше чистых мод упругих волн “пьезоактивными” будут продольные волны вдоль оси x3 и поперечные волны вдоль оси x1. В [6] коэффициент электромеханической связи определяется как отношение плотности взаимно упругой и электрической энергии к среднему геометрическому значению плотности внутренних упругой и электрической энергий. Плотность внутренней энергии кристалла ( в пренебрежении тепловыми и магнитными членами) можно записать как сумму механической и электрической энергий
                                                   
 Если подставить сюда выражения для Ti j и Dm из (6) и (8), то будем иметь
                     

 Первое слагаемое в этом выражении представляет собой плотность упругой     энергии, второе - плотность электрической энергии и третье - плотность  так называемой   взаимной энергии или энергии электромеханического взаимодействия.        В соответствии с  высказанным определением можно получить

                                

Существуют и другие определения понятия коэффициента   электромеханической связи [6], на которых мы не будем здесь останавливаться.

 3. ЭЛЕКТРОАКУСТИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

3.1. Постановка задачи.

      Ниже мы рассмотрим вариант возбуждения объемных упругих волн с помощью пьезоэлектрика, как показано на рис. 2,б. В этом случае упругая волна возбуждается пьезоэлектрическим слоем, нанесенным на торец звукопровода, причем последний может быть как пьезоэлектриком, так и непьезоэлектриком. Для концентрации электрического поля в пьезоэлектрике, между ним и звукопроводом, как правило, располагается металлический электрод, называемый обычно “подслоем”. С той же целью на внешнюю поверхность пьезоэлектрика может наноситься другой электрод, называемый “надслоем”. В другом варианте, обычно называемом “возбуждением с поверхности”, упругая волна генерируется непосредственно в звукопроводе, который сам является пьезоэлектриком и вводится в переменное электрическое поле, создаваемое какими-либо внешними электродами, как показано на рис. 2,а. При этом возбужденная волна начинает свой путь от поверхности плоского торца, находящегося в переменном электрическом поле. Строгий теоретический анализ этого случая наталкивается на математические трудности в силу сложности геометрии. Поэтому здесь мы не будем его рассматривать. В любом случае пьезоэлемент, введенный в зазор между электродами, может быть охарактеризован некоторым импедансом, активная составляющая которого поглощает электромагнитную (ЭМ) мощность.Последняя расходуется как на возбуждение в звукопроводе акустической волны, так и на различного рода потери (джоулевы, акустические и др.). Для простоты будем считать, что все потери могут быть описаны некоторой действительной, зависящей в общем случае от частоты, добавкой Rп (ω) κ импедансу пьезоэлемента

                                                  

найденному без учета потерь. Тогда мощность акустической волны Pак , излученная в звукопровод и мощность потерь Pп будут выражаться следующими формулами:
                                   
где J - амплитуда тока, текущего через преобразователь. Величина Z(ω) обычно называется импедансом излучения, а R(ω) сопротивлением излучения. Эффективность преобразователя в целом, включая возбуждающую систему, подводящую к нему ЭМ мощность, характеризуется обычно коэффициентом электроакустического преобразования η, определяемым как отношение η =Pак/Pсн , где   Pсн - мощность , отдаваемая генератором в согласованную с волноводом (неотражающую) нагрузку. Чтобы найти величину η , будем считать в дальнейшем , что генератор характеризуется ЭДС с фиксированной амплитудой и согласован с передающим трактом, т.е. его внутреннее сопротивление Zi чисто активно и равно волновому сопротивлению волновода Zi = Z0 . Покажем, что в этом случае при произвольной нагрузке будет выполняться равенство P+ =Pсн , где P+ - мощность прямой волны. Если генератор с эффективным значением ЭДС=Eэф нагружен на согласованную       нагрузку Zн = Z0 , то он будет отдавать в нее мощность Pсн = (Eэф /2Z0)2Z0 = E2эф /4Z0 .            В случае произвольной нагрузки с импедансом Zн= =Rн+jXн , в волноводе возникнет            стоячая волна, образованная прямой волной с мощностью P+ и отраженной - с мощностью P- . В нагрузке будет выделяться мощность
                                          
где |Γ | - модуль коэффициента отражения в подводящем волноводе. Если учесть, что
      
то                                                               


 
Эту же мощность можно найти как Pн =J2эфRн , где J - эффективное значение тока в цепи нагрузки. Величина J2эф может быть выражена как

J2эф =E2эф /|Z0 +Zн |2 .

Тогда
                              
Приравнивая правые части (48) и (49), получим
                                                
На этом основании определение коэффициента электроакустического преобразования можно записать в виде
                            
Поскольку Pак +Pп = P+ (1-|Γ|2) , то из (50) с учетом (46) будем иметь

                               
где величина
                                      

называется коэффициентом полезного действия (КПД) контура. Такое название связано с тем, что Rп) определяет электрические потери главным образом в подслое и надслое, что можно отнести к потерям в электрической цепи




(контуре), тогда как акустическое затухание и собственная проводимость пьезоэлектрика обычно пренебрежимо малы.              Модуль коэффициента отражения |Γ| нетрудно найти по формуле (47), если известен импеданс нагрузки Zн(ω) в некотором сечении передающего тракта и его волновое сопротивление Z0 . В нашем случае Zн(ω) вычисляется как результат трансформации возбуждающей системой импеданса излучения преобразователя и сопротивления потерь Rп. Таким образом, первоочередной задачей при анализе работы пьезопреобразователя является нахождение импеданса излучения Z) .Лишь после этого можно приступить к рассмотрению конкретной возбуждающей системы и к нахождению коэффициента электроакустического преобразования и других характеристик преобразователя.


3.2. Импеданс излучения.

      Анализируемая модель представлена на рис. 3. Пьезоэлемент состоит из пьезослоя 2 и металлических обкладок 1 (наслоя) и 3 (подслоя). Последний находится в акустическом контакте со звукопроводом 4. Рассмотрим в соответствии с работой [7] наиболее важные в практическом отношении случаи преобразователей на основе пьезоэлектрика класса 6mm (например CdS, ZnO) с осью 6 , перпендикулярной или параллельной поверхностям электродов. В первом случае возбуждаются чисто продольные упругие волны, а во втором- сдвиговые. Надслой, подслой и звукопровод будем считать изотропными или ориентированными продольной нормалью перпендикулярно торцу последнего. В противном случае преобразователь будет одновременно возбуждать квазипродольные и квазипоперечные волны. (Случай произвольной ориентации пьезоэлектрика рассмотрен в работе [8].) Полагая d/dx=d/dy=0, для непроводящего пьезоэлектрика из уравнения Пуассона получим dD/dz=0, где D - электрическое смещение. Это означает, что величина D не зависит от координаты z и может быть функцией только времени t. При выбранной ориентации уравнения состояния пьезоэлектрика сводятся к скалярным

                          
где T и u - упругое напряжение и механическое смещение в пьезоэлектрике, C и e - упругая и пьезоконстанты, ε- диэлектрическая проницаемость, E - напряженность электрического поля. Если ось 6 пьезоэлектрика перпендикулярна (параллельна) торцу звукопровода, то физические константы в уравнениях (53) и (54), как показано в разделе 2.4, представляют собой следующие компоненты тензоров: e=e333 (=e113) , ε=ε33 (=ε11) , C=C3333 (=C1313). Импеданс пьезоэлемента в квазистатическом приближении определяется следующим образом:


        


где s - площадь подслоя. Если найти E из (54) и подставить в (55), то получим


        
                              

Первый член в этом выражении представляет собой чисто реактивное сопротивление, определяемое статической емкостью C0 =εs/h . Действительная часть второго члена является сопротивлением излучения R(ω) , а мнимая - входит в реактивное сопротивление преобразователя как некоторая добавка, вызванная пьезоэффектом. Функция u(z,t) есть решение волнового уравнения (18) для пьезоэлектрика:

                           
где u0+ и u0- - комплексные амплитуды, определяемые граничными условиями,   β=ω(ρ/(C(K2 +1)))1/2 , ρ- плотность, K - коэффициент электромеханической связи. В случае нормальной ориентации пьезоэлектрика
                                                          
а в случае тангенциальной -
                                                
Если исходить из непрерывности на границах двух сред механических смещений и упругих напряжений, то при z=0 и z=h должны быть равны акустические импедансы, определяемые формулой (38), найденные в пьезоэлектрике и в контактирующей с ним среде. Тогда для звукопровода, имеющего бесконечную длину, получим следующие граничные условия:

                                         




         Формула (58) означает, что пьезоэлемент нагружен надслоем, как короткозамкнутым отрезком волновода, а последнее равенство выражает тот факт, что подслой является трансформатором сопротивления, включенным между бесконечно длинным звукопроводом с волновым сопротивлением Z04 и пьезоэлементом (см. формулу (44). Здесь Z01, Z03, Z04- акустические волновые сопротивления соответственно надслоя, подслоя и звукопровода , β1 и β3- волновые числа в первой и третьей среде (см рис. 3). Для того, чтобы выразить в (58) и (59) величину T при z=0 и z=h через смещения u , воспользуемся следующим из (53) и (54)соотношением

<< предыдущая страница   следующая страница >>