bigpo.ru
добавить свой файл
  1 2 3 4 ... 7 8

       Первое из этих уравнений означает, что теория строится в квазистатическом приближении. Для обоснования этого можно привести следующие соображения. Электрические поля, порождаемые в пьезоэлектрике упругой волной возникают благодаря перераспределению этой волной положительных и отрицательных зарядов в объеме среды. Созданный при этом зарядовый “рельеф” переносится упругой волной со скоростью звука. Последняя в ≈105 раз меньше скорости распространения электромагнитных волн. Поэтому указанные заряды можно считать неподвижными, а электрические поля, создаваемые ими - потенциальными, подчиняющимися законам электростатики.
      В уравнении (10) отсутствует плотность тока проводимости и оставлена только плотность тока смещения D/dt . Это связано с тем, что пьезоэлектрик, используемый в электроакустическом преобразователе, должен быть непроводящим. В противном случае он будет шунтироваться собственной проводимостью, которая снизит в нем амплитуду переменного поля.   Равенство нулю дивергенции в (11) следует из того, что пьезоэлектрик считается непроводящим и плотность объемного заряда в нем равна нулю.

2.4. Волновое уравнение для плоских ОАВ в пьезоэлектрике.       Рассмотрим случай, когда в переменное электрическое поле введен конец пьезоэлектрического звукопровода, либо пьезоэлектрическая пластина,




закрепленная на непьезоэлектрическом звукопроводе (см.рис.2). Предположим, что пьезокристалл ориентирован осью x3 кристаллофизической системы координат параллельно вектору электрического поля, а его торцевая поверхность перпендикулярна этой оси. В таком случае в пьезоэлектрике будут возбуждаться практически плоские ОАВ с фазовой скоростью, направленной вдоль оси x3 и можно положить ∂/dx1 =∂ /dx2 =O. Уравнения (5), (6), (8) , (11) с учетом (7) примут вид
                                
Из последнего уравнения следует, что D3 не зависит от координаты x3 и, следовательно, является лишь функцией времени. Выразим из (14) напряженность электрического поля E3
                                       

                подставим ее в (13)
                                       


  и, используя полученное выражение, найдем из (12) следующее волновое уравнение.                                                                   




      Поскольку j здесь может принимать значения 1,2,3, формула (18) представляет собой    три уравнения, в которых неизвестными служат компоненты вектора смещения   uj (x3, t).
        Рассмотрим случай, когда пьезоэлектриком является кристалл класса 6mm, например, ZnO или CdS. Если воспользоваться матрицами упругих,       пьезоэлектрических и диэлектрических постоянных для таких кристаллов [4], то нетрудно убедиться, что во всех приведенных выше уравнениях неравными нулю   будут  только константы C3131 = C3232 , C3333  , e333 и ε33. Тогда из (13) и (14) будем   иметь
                     а из (18) получим


 В последнем уравнении величина       k = (e2333 / C3333 ε33 )1/2
называется коэффициентом электромеханической связи. Таким образом, в пьезоэлектрике класса 6mm в направлении оси x3 возможно распространение двух чисто поперечных волн со смещениями вдоль x1 и x2 (см.(21) и (22)) и чисто продольной волны со смещением вдоль оси x3 (см.(23)). Скорости этих волн, как следует из дисперсионных уравнений, которые нетрудно получить из (21), (22) и (23), соответственно, равны (C3131/ρ)1/2 , (C3232/ρ)1/2 и (C3333  ( 1+k2)/ρ)1/2 . Заметим, что обе поперечные волны имеют одинаковые скорости, так как C3131 = C3232 . Переменным электрическим полем, направленным вдоль оси x3 , будет возбуждаться лишь одна из этих трех волн, а именно продольная волна. Действительно, если в (12) подставить (13) и воспользоваться матрицами материальных констант [4], то из трех уравнений, которые мы при этом получим, два точно совпадают с (21) и (22), а третье примет вид


 Правая часть этого неоднородного уравнения представляет в нем источник возбуждения акустических волн. Следовательно, для возбуждения упругой волны в пьезоэлектрике необходимо, чтобы производная ∂(e333E3 )/∂x3 была бы отлична от нуля, т.е. произведение (e333E3 ) должно изменяться в зависимости от координаты x3 .Если, например, плоская граница пьезоэлектрика перпендикулярна оси, то значение e333 испытывает на ней скачок и будет иметь место так называемое “возбуждение с поверхности”.В случае пьезоэлектрика класса 6mm возможен также другой случай, когда переменное электрическое поле, направленное перпендикулярно торцу звукопровода, возбуждает чисто поперечную волну. Для этого необходимо сориентировать пьезоэлектрик таким образом, чтобы ось x3 кристаллофизической системы координат оказалась бы перпендикулярной вектору электрического поля E и, следовательно, параллельной собственному торцу кристалла. В этом случае чисто поперечная волна может возбуждаться в любом направлении, лежащем в плоскости x1O x2 . Например, для волн, распространяющихся вдоль оси x1, тензорные уравнения (5), (6) и (8) сводятся к следующим скалярным
                            
где k - коэффициент электромеханической связи, равный


Решением уравнения (25) является чисто поперечная волна, распространяющаяся вдоль оси x1 со смещением частиц среды параллельно оси x3 . Две другие волны, существование которых также возможно, не возбуждаются при заданном направлении электрического поля. Таким образом, в рассмотренных двух случаях тензорные уравнения, описывающие электромеханические свойства пьезоэлектрика, сводятся к скалярным. Обобщая оба случая, будем в дальнейшем необходимые нам уравнения записывать, опуская индексы, в следующем виде


                                         

2.5. Поток упругой энергии.

Распространение акустической волны сопровождается переносом энергии. Этот перенос характеризуется вектором Н.А.Умова (1874г., Одесский университет), величина которого равна количеству энергии, переносимой волной за единицу времени через единицу площади (плотность потока мощности). Компоненты этого вектора выражаются формулой



 где подразумевается суммирование по повторяющемуся индексу i от 1 до 3. В случае, если используется комплексное представление векторов синусоидально изменяющихся полей, то среднюю за период плотность потока мощности, переносимой упругой волной в направлении оси xk ,можно записать следующим образом



Здесь под Tik и uk понимаются комплексные амплитуды компонент тензора упругого напряжения и вектора смещения. ui* означает комплексно сопряженную величину.

   2.6. Плотность упругой энергии.

      Воспользовавшись формулой (32) для компонент вектора Умова, можно найти выражение для величины упругой энергии, заключенной в единице объема. За время dt через единичную площадку, перпендикулярную оси xk протекает в направлении оси упругая энергия Pk dt. Если при этом фронт k-й компоненты потока мощности перемещается на расстояние dxk , то указанную энергию можно считать заключенной в объеме dxk1 м2 .Тогда часть плотности упругой энергии, приходящаяся на k-ю ось, будет равна
                                       
      Заметим, что здесь нет суммирования по индексу k. Складывая плотность упругой энергии для всех трех координатных осей, будем иметь полную плотность
       
В этом выражении предполагается суммирование по повторяющимся индексам i и k . Если индексы поменять местами и принять во внимание симметрию тензора упругого напряжения (Ti k =Tk i ), то будем иметь
 
 Складывая выражения (33) и (34) с учетом (7) и находя среднюю за период плотность упругой энергии, получим окончательно
                                     

2.7. Акустический импеданс.

      Для чистых мод плоских упругих волн, распространяющихся вдоль одной из координатных осей, из выражения (32) для компонент вектора Умова, опуская индексы, будем иметь
                                     
Под T и u здесь следует понимать выраженные в комплексном виде чисто продольные, либо чисто поперечные волны напряжения и смещения. Сопоставим фрмулу (36) с выражением для мощности, переносимой электромагнитной волной, в некоторой передающей линии
                                         
где электрическое напряжение V и ток J в общем случае обусловлены суммой прямых и обратных волн. Сравнение формул (36) и (37) позволяет сделать вывод, что плоскую волну величины (-du/dt) можно принять аналогом волны электрического тока J, а волну упругого напряжения T - аналогом волны электрического напряжения. Это дает основание подобно электрическому импедансу в некотором сечении передающей линии ввести понятие акустического импеданса
                                 В общем случае, когда в среде одновременно присутствуют прямые и обрат-ные акустические волны, импеданс Zак будет комплексной величиной, зависящей от  координаты вдоль звукопровода. Если же имеют место чисто бегущие волны, то эта величина становится действительным числом, называемым акустическим волновым сопротивлением Z0,ак .
                               
где знак + означает прямую бегущую волну. Для пьезоэлектрика из (28) и (29) имеем
        
 Здесь индукция D, как следует из (30), не зависит от координаты x и поэтому может быть функцией только времени D=D0ejωt . Если же пьезоэлектрик используется как простой звукопровод и не включен в какую-либо электрическую цепь, то ток в нем должен отсутствовать, т.е D/dt = jωD=O. На этом основании, полагая в (40) D=O и подставляя в (39), для бегущей волны получим

 где C* =C(1+k2 ) - ужесточенная за счет пьезоэффекта упругая кoнстанта, k2=e2/Cε - квадрат коэффициента электромеханической связи. Используя понятие акустического волнового сопротивления, можно плотность потока мощности, переносимой бегущей акустической волной, записать в виде

   

Понятие акустического импеданса широко используется при описании распространения плоских объемных упругих волн в различных контактирующих между собой средах. Так, например, если акустические волновые сопротивления двух сред равны, то при прохождении упругой волны из одной среды в другую не будет возникать отраженной волны. Если же некоторую среду с акустическим волновым сопротивлением Z0,ак соединить с другой средой, акустический импеданс которой      равен Zак   , то в месте соединения комплексный коэффициент отражения будет равен

    

Также, как и в электромагнитных волноводах, акустический импеданс трансформируется отрезком звукопровода по закону

    
где Zвх, Zвых - акустические импедансы на входе и выходе трансформирующего отрезка длины  lβ- пοстоянная распространения упругой волны. Для звукопроводов с потерями акустическое волновое сопротивление становится комплексным. Если

<< предыдущая страница   следующая страница >>