bigpo.ru
добавить свой файл
1 2 ... 4 5
Словарь – СПРАВОЧНИК ОСНОВНЫХ терминов




НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ


1

ПЕРВООБРАЗНАЯ

Функцию называют первообразной для функции , если .

Если функция имеет первообразную, то она имеет бесконечное множество первообразных , где произвольная постоянная.

2

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ от функции

Совокупность всех первообразных этой функции.

Обозначение:

.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

3

СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Свойства неопределенного интеграла

(правила интегрирования)


  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;



  5. Если и , то (инвариантность формул интегрирования).

4

ИНТЕГРАЛЫ ОТ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Таблица интегралов от основных элементарных функций

  1. ;

  2. ;



  3. ;

  4. ;

  5. ;

  6. ;

  7. ;

  8. ;

  9. ;

  10. ;

  11. .




5

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ в неопределенном интеграле

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

  1. , где - монотонная, непрерывно дифференцируемая функция новой переменной . Формула замены переменной в этом случае имеет вид:


.


  1. , где - новая переменная. Формула замены переменной в этом случае имеет вид:


.


6

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ в неопределенном интеграле

Интегрированием по частям называют нахождение интеграла по формуле

,

где и - непрерывно дифференцируемые на некотором интервале функции.


ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


7

ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции на отрезке

Сумма , где

, ,

причем .

8

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ от функции на отрезке

Если существует не зависящий от способа разбиения отрезкана частичные отрезки и выбора промежуточных точек предел интегральной суммы при мелкости разбиения (), то функция называется интегрируемой на этом отрезке, а сам предел – определенным интегралом от функции на отрезке:

.



9

СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

Некоторые свойства определенного интеграла

  1. ;

  2. ;

  3. ;

  4. ;

  5. .

10

ФОРМУЛА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА

Если одна из первообразных непрерывной на функции, то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

.

11

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ в определенном интеграле

Если и - непрерывно дифференцируемые на , то имеет место формула интегрирования по частям:

.

12

ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ в определенном интеграле

Если функция функции непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема и строго возрастает на , , , то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

.

Кроме подстановки , применяют также подстановку .

13

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел

  1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции на , прямыми , и осью , вычисляется по формуле:

.


  1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу - графиком функции , прямыми , , вычисляется по формуле:

.

  1. Если верхняя граница криволинейной трапеции задана параметрически: , где , то



при условии, что строго возрастает на

.


  1. В полярных координатах площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и лучами , , вычисляется по формуле:



  1. Объем тела выражается интегралом

,

где левая и правая границы

изменения ;

площадь сечения тела плоскостью,

перпендикулярной к оси в точке

с абсциссой .


  1. Если тело образовано вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции на , прямыми , и осью , то его объем вычисляется по формуле:

.


Вычисление длины дуги плоской кривой


Если плоская кривая задана уравнением , то длина ее дуги от точки с абсциссой до точки с абсциссой вычисляется по формуле:

,

где - дифференциал длины дуги)

14

ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ определенного интеграла

  1. Координаты центра масс материальной дуги плоской кривой, заданной уравнением на отрезке , выражаются формулами:


; ;

где плотность;

длина кривой.


  1. Координаты центра масс материальной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции на отрезке , а снизу - осью , выражаются формулами:


; ;


где плотность;

площадь криволинейной трапеции.



  1. Работа переменной силы ( непрерывная функция на отрезке ), действующей в направлении оси на отрезке , вычисляется по формуле:

,

где дифференциал работы.


15

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В определении интеграла предполагалось следующее:

1. промежуток интегрирования конечен;

2. функция ограничена на отрезке .


Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.


КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ, ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ


16

ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА функции по ограниченной замкнутой области

Сумма , где

площадь -ой элементарной области (из элементарных областей, на которые произвольным образом разбита область);

произвольная точка -ой элементарной области .




следующая страница >>