bigpo.ru
добавить свой файл
1
КАЗАХСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ


ПРОГРАММА

ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ

«6M070500-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»


АЛМАТЫ 2012


Перечень экзаменационных тем


Дисциплина «Математический анализ»

1. Дифференцируемые функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Дифференцируемость функции нескольких переменных

2. Предел функций. Критерий Коши существования предела функций. Непрерырывность функций. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности


3. Функции многих переменных. Предел функции многих переменных. Формула Тейлора для функции многих переменных. Локальные экстремум функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума.

4. Функциональные последовательности ряда. Достаточные признаки равномерной сходимости функциях последовательностей и рядов. Числовые ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

5. Степенные ряды. Степенные ряды и их области сходимости. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда. Разложение функции в степенные ряды.

6. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Вычисление криволинейного интеграла первого и второго рода. Свойства. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода.

7. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Вычисление поверхностного интеграла первого и второго рода. Свойства. Физические приложения поверхностных интегралов.

8. Формула Остроградского – Гаусса. Применение формулы Остроградского – Гаусса для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности.


Дисциплина «Программирование»


1. Управляющие операторы. Условные операторы, операторы цикла. Их применение при программировании. Особенности условных операторов, операторов цикла.

2. Функций. Написание и использование функций: прототипы функций и стиль их написания, аргументы и типы функций, аргументы функции main().

3. Массивы. Объявления массивов, инициализация массивов, доступ к элементам массива, вычисление размера массива, многомерные массивы.

4. Классы. синтаксис и правила, особенности классов, перегрузка операций, производные классы. Абстрактные базовые классы, конструкторы производного класса. Иерархия потоковых классов. Файловый ввод\вывод.

5. Указатели: определение переменных указателей, указатели на функции, динамическая память, указатели и массивы, ссылочный тип в C++.

6. Процедуры. Структура процедур. Внешние и внутренние процедуры в языках C++ и Fortran. Применение процедур.

7. Операции. Приоритеты операции, выражения, стандартные функции языков программирования Fortran и С++.

8. Конструкции условного оператора Fortran и С++. Классификация циклических операторов. Циклы с параметрами. Циклы с постусловием и предусловием Fortran.


Дисциплина «Дифференциальные уравнения»


1. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Частное решение, особое решение. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных.

2. Уравнения с разделяющими переменными. Дифференциальные уравнения первого порядка приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения n – го порядка. Понятие решения, общего решения. Фундаментальная система решений.

4. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения. Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений. Свойства решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

5. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений для линейного уравнения с постоянными коэффициентами методом Эйлера.

6. Построение решения линейного неоднородного уравнения с неоднородностью – квазимногочленом. Понятие линейной системы. Понятие решения. Основные свойства.

7. Линейные дифференциальные уравнения. Формула Остроградского – Лиувилля для линейных дифференциальных уравнений. Структура общего решения линейной неоднородной системы.

8. Построение фундаментальной системы решений для системы с постоянной матрицей. Построение фундаментальной матрицы решений методом Эйлера. Нахождение приближённого решения в виде матричного ряда.

9. Понятие устойчивости по первому приближению. Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Уравнения в частных производных первого порядка (однородные). Построение общего решения.


Дисциплина «Уравнения математической физики»


1. Волновые уравнения. Задача Коши для волнового уравнения. Формула Даламбера. Принцип Дюамеля. Прямые и обратные волны.

2. Формула Кирхгофа и Пуассона. Метод спуска. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения. Метод продолжения для волнового уравнения.

3. Метод Фурье для краевых задач. Решение методом Фурье краевой задачи для однородного уравнения.

4. Собственные значения и собственные функций.  Основные свойства собственных функций. Нахождение таких значений тесно связано с математической задачей определения собственных функций и соответствующих им собственных значений.

Решения методом Фурье краевой задачи неоднородного уравнения.

5. Гармонические и аналитические функции. Уравнения Лапласа. Фундаментальное решение. Формулы Грина для оператора Лапласа. Интегральное представление функции из класса . Свойства гармонических функций.

6. Потенциалы. Объемные и поверхностные потенциалы. Применение потенциалов для решения краевых задач для уравнения Пуассона.

7. Уравнения теплопроводности. Задача Коши. Формула Пуассона. Решение неоднородного уравнения теплопроводности. Теорема. Метод продолжения для уравнения теплопроводности.

8. Уравнения Лапласа. Единственность решения краевых задач для уравнения Лапласа.


Дисциплина «Введение в математическое моделирование»


1. Вариационные принципы и математические модели. Математическое моделирование динамики скопления амеб. Универсальность математических моделей. Иерархия математических моделей гравитационного течения пленки жидкости.

2. Математические модели колебаний. Математические модели, полученные из фундаментальных законов природы. Закон всемирного тяготения. Колебания колец Сатурна.

3. Математические модели динамики численности популяций. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций. Система «хищник-жертва». Анализ динамического поведения системы «хищник-жертва».

4. Равновесная численность популяций. Равновесная численность популяций. Нелинейная модель изменения численности популяций. Три типа поведения решения. Логистические кривые.

5. Универсальность математических моделей. Колебательный электрический контур. Поведение колебательной системы («шарик-пружина») под действием периодической внешней силы. Резонанс.Иерархия математических моделей для системы «шарик-пружина».

6. Пружина на вращающемся стержне. Движение точки крепления пружины. Иерархия математических моделей для движения шарика, присоединенного к пружине. Различные варианты действия внешней силы.

7. Иерархия математических моделей для системы шарик- пружина. Влияние на движение неидеальности поверхности. Три случая движения в вязкой среде.

8. Два типа нелинейных моделей системы «шарик-пружина». Обобщение формулы Стокса. Приближенный анализ поведения систем.


Дисциплина «Введение в вычислительную математику»


1. Методы решения СЛАУ. Применение итерационных методов для решения системы линейных уравнений. Достаточные условия сходимости процесса итерации. Оценка погрешности. Необходимые и достаточные условия сходимости процессе итерации для системы линейных алгебрических уравнений.

2. Методы решения СЛАУ. Решение СЛАУ методами Зейделя, квадратных корней, Халецкого. Необходимые и достаточные условия сходимости.

3. Методы решения системы нелинейных уравнений. Применение методов секущих (хорд) и Ньютона для нелинейных уравнений.

4. Конечные разности различных порядков. Применение конечных разностей различных порядков. Их свойства.

5. Интерполяционные формулы. Таблица центральных разностей. Оценка погрешности. Интерполяционные формулы Ньютона,

6. Интерполяционные формулы Лагранжа, Стирлинга, Бесселя. Таблица центральных разностей. Оценка погрешности.

7. Формулы интегрирования. Интегрирование с применением методов трапеций, Симпсона, Ньютона-Котеса. Вычисление остаточных членов.

8. Методы решения ОДУ. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Рунге-Кутта второго и четвертого порядка.

9. Метод прогонки. Численные методы решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Исследование погрешности, устойчивости и сходимости.


5. Список рекомендуемой литературы


Основная литература:

Математический анализ


  1. В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов. Математический анализ, 1979г.

  2. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа, 1985 г.

  3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, 1997.

  4. Шерстнев А.Н. Конспект лекций по математическому анализу, 2003.


Программирование


1. Б. Страуструп Язык программирования C++. I II т. Москва 1992.

2. У. Мюррей, К. Паппас Visual C++. Санкт-Петербург 1996.

3. К. Грегори Использование Visual C++ 6.0 Киев 2000

4. P.A. Lee and C. Phillips. The apprentice C++ programmer: A touch of Class. PWS Publishing Company. London:2001.

5. Г. Шилдт. Теория и практика С++. Санкт-Петербург, 2000.

  1. В.И.Дробышевич, В.П.Дымников, Г.С.Ривин. Задачи по вычислительной математике. М., Наука, 1980.

  2. Н.В.Копченова, И.А.Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. М., Наука, 1972.

  3. Э.В.Вуколов, А.В.Ефимов и др. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Методы оптимизации, уравнения в частных производных, интегральные уравнения (под редакцией А.В.Ефимова). Изд. 2-е, перераб., М., Наука, 1990.

  4. М.М.Смирнов. Задачник по уравнениям математической физики. М., Наука, 1968.

  5. Б.М.Будак, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов. Сборник задач. М., Наука, 1972.

  6. М.П.Черкасова. Сборник задач по численным методам. «Высшая школа», Минск, 1967.


Введение в математическое моделирование


  1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962.

  2. Калиткин Н.Н.Численные методы.

  3. Рихтмайер Р.Д. Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. - М., Мир. 1972.

  4. Роуч . П.Дж. Вычислительная гидродинамика-Мир.1980.

  5. Самарский А.А. Введение в численные методы.

  6. К.Флетчер. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Том 1, 2. М.: Мир,1991.

  7. Н.Н.Яненко. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск, «Наука»,1967, 197 с.

  8. http://www.xumuk.ru/encyklopedia/2/3429.html


Введение в вычислительную математику


  1. Б.П.Демидович, И.А.Марон. Основы вычислительной математики. Изд.4-е,Исправл., М., Наука. 1970.

  2. И.С.Березин, Н.П.Жидков. Методы вычислений. Том 1,2. Изд. 2-е, Стереотипное, М.,1962.

3. Н.Н.Калиткин. Численные методы. М., Наука, 1978.

  1. Б.П.Демидович, И.А.Марон, Э.Э.Шувалова. Численные методы анализа. М., Наука, изд. 3-е, перераб., 1967.

  2. Д.К.Фаддеев, В.Н.Фаддеева . Вычислительные методы линейной алгебры. Физматгиз, 1963.

  3. А.А.Самарский. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.

  4. Г. И. Марчук. Методы вычислительной математики. –3 изд., М., Наука, 1989.

  5. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М., Наука, 1989.

  6. С.К. Годунов, В.С. Рябенький. Разностные схемы, введение в теорию. М., Наука, 1977.


Дополнительная литература:


Математический анализ


  1. В.С. Шипачев. Высшая математика, 1990 г.

  2. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964.

  3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, 1985

Программирование


1. Белецкий Я. Турбо Си++: Новая разработка. – М.: Машиностроение, 1994. – 400 с.

2. Вайнер Р., Пинстон Л. С++ изнутри. – Киев: «ДиаСофт», 1993. – 304 с.

3. Дьюхарст С., Старк К. Программирование на С++. – Киев: «ДиаСофт», 1993. – 272 с.

4. Лукас П. С++ под рукой. – Киев: «ДиаСофт», 1993. – 176 с.

5. Рассохин Д. От Си к Си++. – М.: Издательство «ЭДЕЛЬ», 1993. – 128 с.

6. Страуструп Б. Язык программирования Си++. – Киев: «ДиаСофт», 1993. Ч. 1. – 264 с. Ч. 2. – 296 с.

  1. Белецки, Я. Фортран 77 / Ян Белецки; Пер.с польск.О.И.Гуськовой; Под ред.В.Р.Носовой.- М.: Высш. шк., 1991.- 203, [3]с.

  2. Боровин, Г.К. Ошибки-ловушки при программировании на фортране / Геннадий Константинович и др Боровин; Г.К.Боровин, М.М.Комаров, В.С.Ярошевский; Под ред.Ю.М.Баяковского.- М.: Наука, 1987.- 141, [2]с.- (Б-чка программиста; Вып.50).

  3. Горелик, А.М. Фортран сегодня и завтра / Алла Моисеевна Горелик, Виктория Львовна Ушакова; АН СССР, ВЦ.- М.: Наука, 1990.- 206, [1]с.- (Алгоритмы и алгоритм. яз.).

  4. Гурьянов, В.М. Программирование на БАЗИСНОМ ФОРТРАНе : Пособие для студентов ун-тов / Владимир Михайлович Гурьянов, Владимир Викторович Мозжилкин.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1978.- 125 с.

  5. Немнюгин, С.А. Современный Фортран : самоучитель / Сергей Андреевич Немнюгин, Ольга Стесик.- СПб.: БХВ-Петербург, 2005.- 481, [5] с.- (Самоучитель).

  6. Архангельский, Б. В. Возможности повышения качества программ написанных на Фортране / Б. В. Архангельский; АН УССР, Ин-т кибернетики.- Киев: [б. и.], 1976.- 28с.


Введение в математическое моделирование


  1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике.-М: Мир. 1975.

  2. Зайцев В.Ф. Математические модели в точных и гуманитарных науках. СПб.: Книжный дом, 2006.

  3. Седов Л.М. Методы подобия и размерности в механике. - М., Наука, 1977.



Введение в вычислительную математику

  1. В.И.Дробышевич, В.П.Дымников, Г.С.Ривин. Задачи по вычислительной математике. М., Наука, 1980.

  2. Н.В.Копченова, И.А.Марон. Вычислительная математика в примерах и задачах. М., Наука, 1972.

  3. Э.В.Вуколов, А.В.Ефимов и др. Сборник задач по математике для ВТУЗов. Методы оптимизации, уравнения в частных производных, интегральные уравнения (под редакцией А.В.Ефимова). Изд. 2-е, перераб., М., Наука, 1990.

  4. М.М.Смирнов. Задачник по уравнениям математической физики. М., Наука, 1968.