bigpo.ru
добавить свой файл
1
ПОСТРОЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ НЕОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

Вершинин С.В.

Екатеринбург, Россия

В работе рассмотрены способы построения аналитических оценок для напряжения в областях, имеющих особенности, не выпуклых или не связных.

Традиционно в механике деформируемого твердого тела для описания полей напряжения и деформации для областей с особенностями широко используются методы асимптотического анализа. Доступная среда компьютерной математики позволяет строить все более сложные асимптотические оценки, возникающие в существенно нелинейных задачах. Полученные результаты являются дополнением конечно-элементным методам, методам R-функций в областях сильного сгущения сетки.

Дифференциальные модели являются удобным классом моделей для исследования существенно нелинейных задач, обладающих сингулярными особенностями, и допускающие конструктивное сочетание численных и асимптотических методов.

Таким образом в данной работе рассмотрены некоторые оценки кумуляции напряжения для задач статики и динамики, представленных в отечественной литературе: оценка концентраторов напряжения для областей с вырезами и надрезами, а также для таких задач как удар стержня о преграду и схлопывание пылевого облака, пробой диэлектрика от импульсной нагрузки.


  1. Статика


В работе [1] приведена шкала типов особенностей в твердом теле в диапазоне

м. Для различных структурных уровней построен свой формализм,

который реализован как в традиционных монографиях [2,3], так и в недавно

появившихся [4,5]. Модель бигармонического уравнения и функция напряжения

Эри позволяют в некоторых случаях областей с отверстиями, надрезами и

трещинами построить оценки для напряжения в аналитическом виде вплоть до представления в классе специальных функций. Ниже рассмотрен ряд примеров,

частично представленных в работе [6].


1.1.Особенности бигармонического уравнения


Для линейноупругого материала функция напряжения Эри , удовлетворяющая бигармоническому уравнению [1-4]


(1.1)


при использовании связи с компонентами тензора напряжений в полярной системе координат


, , (1.2)


позволяет определять решения в виде рядов вида


(1.3)


где определяется из задачи на собственные значения, а определяется в классе периодических функций. Даже для линейной задачи, каковой является задача о всестороннем или одностороннем растяжении пластины с круговым вырезом, возникает концентрация напряжения, которая, например, для правой точки определяется по формулам


, (1.4)


для всестороннего и


, (1.5)


для одностороннего растяжения [2-3]. При усложнении геометрической (круг, эллипс, щель, трещина) или структурной (пластичность, вязкость, усталость) компонент задачи, а также с добавлением кинетического уравнения, даже в случае статики, возникают нелинейности в постановках соответствующих задач, для анализа которых традиционно применяются методы асимптотического анализа [2-5].

В монографиях [4,5] представлен огромный материал по асимптотическому анализу концентраторов напряжения. Некоторые из этих решений можно довести до решений из класса специальных функций.



    1. 1.2. Кручение кругового цилиндра с радиальным надрезом вдоль образующей [4]



Функция напряжения, представленная в виде ряда





мажорируется решением из класса гипергеометрических функций.



    1. 1.3. Примеры траекторий трещин, как геодезических линий [5]


Для плоскости с круговым отверстием радиуса a с давлением по контуру p вариационная задача приводит к уравнению Абеля





с точным решением, описывающим радиальные трещины и асимптотическим решением, описывающим поле мелких трещин в окрестности начала координат.

В работе [5] представлен также программный комплекс “Наложение” для оценки аналитического решения в задаче об образовании упругого включения в предварительно нагруженном теле, а также серия задач о взаимодействии концентраторов напряжения.


  1. Динамика




    1. Напряжение при ударе стержня


В задаче об ударе упругопластического стержня о преграду получены

аналитические оценки для контактного напряжения и длительности удара, которые

могут быть использованы для оценки времени разрушения стержня с микропорой.

Задача о динамическом взаимодействии упругопластического стержня с жесткой преградой исследовалась многими авторами [7-9] и является содержательной моделью для определения соотношения упругих, хрупких и пластических свойств материала на примере нелинейного волнового уравнения [8,10]. Схема взаимодействия носит простой характер и позволяет смоделировать ситуацию краевой задачей для нелинейного волнового уравнения


(2.1)


( - скорость распространения продольных волн в стержне, зависящая от решения ; u - перемещение, - удлиннение, t - время, ; - напряжение, - плотность; напряжения - и удлиннения связаны зависимостью )

Начальные условия имеют вид




(2.2)

Краевые условия представлены в виде




(2.3)

(f(x) - гладкая функция в пределе стремящаяся к ступенчатой в нуле функции, L - длина стержня)

Решения поставленной задачи для определенных классов зависимости напряжения от деформации были получены в работе [10] в виде асимптотических рядов

(2.4)

с рекуррентно определяемыми коэффициентами и специально подобранным базисом .

Построенные решения позволяют моделировать отскок стержня от преграды, явления откола или прилипания стержня с помощью аналитических оценок длительности удара.

В момент удара у левого конца стержня возникает центрированная волна Римана [7,8], которая может быть аналитически описана с помощью построенных решений. Для тестирования построенных решений используется механически эквивалентная задача об ударе по полубесконечному стержню [7] в автомодельной постановке.

Для описания явления теплового удара исследована дифференциальная система для изменения деформаций и температуры в полной нелинейной постановке

- уравнение движения (2.5)

- уравнение теплопроводности ( , )

- уравнение состояния

Для этого использовано построенное автором решение для нелинейного уравнения теплопроводности

( , ) (2.6)

(2.7)

Добавляя сюда решение для нелинейного волнового уравнения

(2.8)

получим в неявном виде решение задачи, моделирующей явление теплового удара [6].


    1. Фокусировка в точку пылевой оболочки под действием внешнего постоянного давления [11]


Инерционная модель точечной фокусировки пылевой оболочки описывается следующей системой уравнений

Уравнение движения пылевой оболочки





Фокусировка в точку

;

;

Процедура построения общего решения в виде ряда



;



приводит к рекурсии



с оценкой

причем для плоского движения справедлива оценка

приводящая к решению в классе гипергеометрических функций.


2.3 Напряжение на режущем клине


Задача об ортогональном резании [12,13] схематически может быть представлена в виде взаимодействия резца, детали и стружки. В окрестности основания стружки образуется зона пластичности, которую в классе дифференциальных моделей можно трактовать как пересечение волны нагрузки, распространяющейся в деталь и волны разгрузки, распространяющейся в стружку. При исследовании зоны резания с помощью метода конечных элементов определяется конфигурация зоны пластичности в виде криволинейного треугольника, топологически эквивалентного области определения двойной волны для задачи об угловом поршне. Это позволяет трактовать условно зону пластичности в задаче резания как двойную волну в упругопластической среде.

Задача об ортогональном резании исследовалась автором в серии работ с помощью комбинирования численных и аналитических методов в приложении к важной технологической проблеме о создании погранслоев в твердом теле с помощью методов конденсации ионной бомбардировкой (КИБ) и ионной имплантации (ИИ) (упрочняющие технологии).

Аналитическая оценка напряжения в вершине режущего клина является трудоемкой задачей и требует сочетания конечноэлементного и асимптотического подходов. Кроме того область взаимодействия резца, стружки и детали является неодносвязной.

Наряду с полями напряжений и деформаций в зоне резания определялось тепловое поле с помощью решения краевой задачи для двумерного нелинейного уравнения теплопроводности [13]


(3.1)

(T(x,y,t) - температура в точке (x,y) в момент времени t; - коэффициент теплопроводности; - объемная теплоемкость; c - удельная теплоемкость; - плотность; , - зависят от химического состава и термообработки; , - проекции на координатные оси вектора скорости перемещения внешних источников теплоты; W - мощность источников теплоты).


2.4 Разрушение диэлектрика


В задаче о пробое диэлектрика со времени опубликования монографий В. Франца и А.А. Воробьева реализованы как методы физического [14] так и математического [15] эксперимента. Обнаружены эффекты электронной детонации (ЭД) в твердых диэлектриках и световой детонации (СД) в газах, причем выявлена некоторая аналогия процесса детонации взрывчатых веществ (ВВ), электронной и световой детонации. Ниже приведены,некоторые результаты по аппроксимации данных физических экспериментов, аналитическое определение давление в канале пробоя в рамках гидродинамической модели, а также учет явления детонации, нелинейного уравнения теплопроводности и библиографические ссылки на способ реализации фрактальной модели.

2.4.1 Обработка экспериментальных данных



Простейшая статистическая обработка некоторых параметров, полученных в результате физических экспериментов по пробою твердых диэлектриков и соответствующие библиографические ссылки приведенны в работе [6] .

Примеры аппроксимации параметров, описывающих динамику канала

Пример 1: радиус канала (,см) (y), коэффициент сжимаемости (k, Па) (x), (LiF,NaCl,KCl,KBr,MgO,,Si - тип диэлектрика)

Пример 2: давление в канале( Па) (y), скорость электронной детонации (м/с) (x)

Пример 3: радиус канала (,см) (y), скорость разряда (, м/с ) (x)

Пример4: применения сплайн-аппроксимации (скорость распространения канала анодного разряда в NaCl в зависимости от напряжения возникновения разряда)

2.4.2 Обзор моделей



Литературный обзор позволяет выделить следующие основные типы дифференциальных моделей

1.Гидродинамическая модель (гиперболическая система-переменные Эйлера, Лагранжа)

2.Учет детонации (ВВ-ЭД-СД)

3.Тепловой пробой (Нелинейное уравнение теплопроводности)

4.Фрактальная модель (Уравнение Лапласа-метод релаксации)

2.4.3 Оценка давления в канале



Численная или аналитическая реализация этих моделей приведена в работе [14] с различной степенью строгости

1.Рассмотрим гидродинамическую модель задачи о пробое диэлектрика реализованную численно в переменных Лагранжа с помощью схемы Неймана-Рихтмайера.

В переменных Эйлера задача ставится следующим образом

Гиперболическая система (цилиндрическая симметрия)









(u - скорость, - плотность, P - давление, E - энергия)

Итерационная процедура определения переменных

Предполагая, что уравнение состояния задано в виде сходящегося по своим переменным двойного ряда



Разыскивая решение исходной системы в виде степенных рядов по t









получим итерационную цепочку нелинейных уравнений.

Так для , , получим









Определение давления в канале

Коэффициенты определятся тогда из уравнения состояния соответствующей итерационной процедурой, которая хорошо реализуется в среде компьютерной математики, но в данной работе опущена из за громоздкости.

2. Учет детонации допускает перенос некоторых аналитических результатов из теории детонации газов для показателя отличного от константы для твердых диэлектриков.

3. Модель теплового пробоя требует привлечение нелинейного уравнения теплопроводности и может быть реализована с привлечением решений, построенных выше, а также некоторых из решений, построенных для задач с обострением.

4. И, наконец, для реализации фрактальной модели пробоя диэлектрика [15] следует воспользоваться методом релаксации , который позволит определить геометрическую картину канала пробоя диэлектрика.

Таким образом в данном пункте проведен библиографический обзор основных математических моделей для реализации задачи о пробое диэлектрика. Некоторые из этих моделей хорошо реализуются в среде компьютерной математики .

Возможность аналитического определения давления в канале позволяет устанавливать появление радиальных трещин в диэлектрике. В строгой вариационной постановке появление трещин по геодезическим направлениям описано в монографии [5], где задача сводится к решению дифференциальных уравнений типа Абеля с соответствующим точным решением для радиальных трещин. Для описания поля мелких трещин строится приближенное асимптотическое решение.



  1. Методы диагностики



Таким образом используя построенные модели можно проводить компьютерную

диагностику и дефектоскопию внутренних особенностей в сплошной среде по

фиксации концентраторов напряжения.

Internet обзор рынка аппаратной продукции для статической диагностики концентраторов напряжения представляет сканер дефектоскоп Комплекс-2.05 с широкими возможностями определения внутренних дефектов.


Литература


1. В.З. Партон Механика разрушения: От теории к практике М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1990. 240с.

2.Л.И. Седов Механика сплошной среды. В 2-х т. М.: Наука.1973.

3. К. Хеллан Введение в механику разрушения М.: Мир. 1988. 364 с.

4. В.И. Астафьев, Ю.Н. Радаев, Л.В. Степанова Нелинейная механика разрушения.-Самара: Изд. Самарский университет, 2001.-632 с.

5. В.А. Левин, Е.М. Морозов, Ю.Г. Матвиенко Избранные нелинейные задачи механики разрушения М.: Физматлит. 2004. 408с.

6. С.В. Вершинин Асимптотические методы анализа задач разрушения\\Труды 3-й Российской научно-технической конференции “Разрушение, контроль и диагностика материалов и конструкций.” Екатеринбург. 2007.

7.Х.А. Рахматулин , Ю.А. Демьянов Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках.М.Физматгиз.1961

8.В.К. Новацкий Волновые задачи теории пластичности.М.Мир.1978.

9.А.И. Гулидов , В.М. Фомин Численное моделирование отскока осесимметричных стержней от твердой преграды//Журнал ПМТФ.1980.№ 3.С.126-132.

10.С.В. Вершинин Некоторые нелинейные модели для задачи динамического взаимодействия упругопластического стержня с жесткой преградой//Труды 9-ой конференции по прочности и пластичности.Москва.ИПМех.1996.

11. А.Н. Голубятников , С.И. Зоненко , Г.Г. Черный Новые модели и задачи теории кумуляции. Успехи механики.- 2005. -т.3, №1.- с.31-94.

12.В.А. Остафьев Расчет динамической прочности режущего инструмента. М.: Машиностроение.1979.

13.А.Н. Резников Теплофизика процессов механической обработки материалов.М.: Машиностроение.1981.

14.Б.В. Семкин , А.Ф. Усов , В.И. Курец Основы электроимпульсного разрушения материалов.С-Пб.Наука.1995.

15.Х. Гулд, Я. Тобочник Компьютерное моделирование в физике: В 2-х частях.Москва. Мир.1990.