bigpo.ru
добавить свой файл
1
МЕТОД АнализА СЕТЕЙ массового обслуживания

с переменной структурой


Н. П. Фокина, И. Е. Тананко


Саратовский государственный университет, Саратов, Россия


К особому классу ненадежных сетей обслуживания относятся сети массового обслуживания с переменной структурой, которые характеризуются случайными или детерминированными изменениями в связях между системами обслуживания. В работе [1] предлагается метод оптимального управления входящим потоком в сеть параллельных систем массового обслуживания со случайно нарушающимися и восстанавливаемыми связями между источником требований и системами обслуживания. В работе [2] исследуется метод управления требованиями, основанный на информации о числе мест ожидания в очередях и времени пребывания требований в системах сети обслуживания с изменяемыми связями между системами обслуживания.

В данной работе предлагается метод анализа однородных замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с изменяемой структурой. В процессе функционирования сети используются различные маршрутные матрицы, соответствующие различным топологиям сети.


1. Постановка задачи. Пусть – замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания с системами массового обслуживания , , типа с интенсивностями обслуживания , требованиями одного класса и переменной структурой. Обозначим через , , – матрицу смежности, определяющую топологию сети . Матрица принимает значение из конечного множества матриц смежности , где , , , – число матриц смежности. Обозначим через сеть с топологией , . Предполагается, что каждой матрице смежности соответствует заданная неприводимая маршрутная матрица , . Эволюция сети представляет собой последовательность равновероятных эволюций сетей , . Длительность использования сетью маршрутной матрицы является фиксированной величиной и равна , .

Обозначим через состояние сети с номером , где – число требований в системе , – множество состояний сети мощности . Длительность пребывания сети в состоянии является случайной величиной с экспоненциальным распределением и математическим ожиданием (м.о.) , где – параметр ее функции распределения.

Функционирование сети можно рассматривать как два протекающих одновременно процесса: 1) процесс смены структур (топологий) сети и 2) вложенный в него процесс обслуживания и переходов требований между системами сети обслуживания.


2. Метод анализа сети . Обозначим через случайный процесс с множеством состояний , описывающий эволюцию сети . Процесс представляет собой последовательность фрагментов (тактов), соответствующих эволюции сетей , . Эволюция сети описывается цепью Маркова , с множеством состояний и непрерывным временем (все состояния являются устойчивыми, длительность пребывания в состоянии является случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с параметром ). Длительность реализации цепи равна длительности . Характеристики процесса определяются характеристиками цепей Маркова , , и длительностями их реализаций.

Введем обозначения параметров и характеристик цепи , : , , – инфинитезимальный оператор; – матрица вероятностей скачков марковской цепи скачков, связанной с цепью ; – матрица вероятностей перехода за время , определяемая известным соотношением .

Параметры и характеристики цепи будут зависеть от соответствующей маршрутной матрицы . Тогда

, , , , ,

, , ,

, , , , ,

где

.

Пусть , , – предельное распределение на момент завершения очередного такта. Очевидно, что оно является решением следующей системы уравнений



с условием нормировки .

Пусть , , – средняя вероятность пребывания в состоянии цепи в течение интервала времени длительности

, , . (1)

Поскольку вероятность того, что сети используется маршрутная матрица равна

, ,

то стационарная вероятность состояния сети равна средней вероятности пребывания процесса в состоянии определяемой выражением

, . (2)

Рассмотренный класс замкнутых экспоненциальных сетей массового обслуживания с переменной структурой может быть использован в качестве моделей дискретных стохастических систем с сетевой структурой (гибких производственных систем, сложных систем с ненадежными элементами, систем спутниковой связи и т. п.).


3. Пример. Пусть – замкнутая экспоненциальная сеть массового обслуживания с системами массового обслуживания, требованиями одного класса, вектором интенсивностей обслуживания требований , числом структур (топологий) сети , – вектором длительностей реализаций эволюций сетей , , маршрутными матрицами

,

,

.

Обозначим , где – м. о. числа требований в системе , , где – м. о. длительности пребывания требований в системе , . Используя выражения (1) и (2), а также известные выражения для и , , получим следующие характеристики сети :

,

.


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


1. Bambos N., Michailidis G. Queueing networks of random link topology: stationary dynamics of maximal throughput schedules // Queueing Systems, 50, pp.5–52, 2005.

2. Tassiulas L. Scheduling and performance limits of networks with constantly changing topology // IEEE Transactions on Information Theory, V. 43, N. 3, May 1997, pp. 1067-1073.