bigpo.ru
добавить свой файл
1
МЕТОДИКА ПРОЕКТИРОВАНИЯ КВАДРАТНОЙ ДВУХСЛОЙНОЙ ПЛАСТИНЫ В УПРУГОЙ И ПЛАСТИЧЕСКОЙ СТАДИЯХ.

ВЛИЯНИЕ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ НА НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНОЙ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНЫ В УПРУГОЙ СТАДИИ


Подгорнов А.В., Мамонтов А.И

Владивосток, Россия


1. Упругая стадия

Двухслойная квадратная пластина показана на рис. 1.



Методика разрабатывается путем проведения ряда численных экспериментов. Одна из целей проведения экспериментов – определение значения действующей нагрузки, при которой хотя бы в одном из элементов расчетной схемы (рис. 1, б-2) возникают напряжения фибровой текучести. За напряжения фибровой текучести принимается значение (сталь Ст 3).

Дифференциальное уравнение изгиба пластины принимается в виде [4]:

.

где    поперечная нагрузка, ;

   сжимающие усилия, ;

   уравнение прогиба, .

Для расчета применяются граничные элементы [1,2] и метод В.З. Власова [3]. Действующая нагрузка возрастает пошагово. Сжимающие усилия в элементе на каждом шаге нагружения определяются итерационно [5] (4-5 итераций).

Условия закрепления и действующая нагрузка показаны на рис. 1, б-3.

При проведении экспериментов варьируется параметр (длина пластины верхнего слоя). Для каждого значения определяется значение , при котором хотя бы в одном из элементов расчетной схемы возникает напряжение . Строится график зависимости от  . Далее меняется толщина пластины верхнего слоя и параметр варьируется вновь. При варьировании другие параметры расчетной схемы подчиняются условиям (1):

, мм   условие постоянства толщины нижней пластины;

(1)

 и , мм   условия постоянства длины нижней пластины;

 ,  , , мм – условия симметрии;

, мм – условие постоянства зазора между пластинами, обеспечиваемого элементами: 2 мм;

 или , мм в зависимости от того, что больше – условие равенства толщины соединительного элемента.

Соединительные элементы 1 и 3 на схеме (рис. 1, б) работают на кручение и, кроме того, являясь ребрами, создают эффект податливых опор. Этот эффект моделируется введением в матрицу всей расчетной схемы коэффициентов жесткости ,

   для свободной заделки на кромках и ;

   для жесткой заделки на кромках и ;

где -длина ребра или ширина пластины (рис. 1), мм.

Результат расчетов показан на рис. 2 для свободной заделки на кромках и и на рис. 3. для жесткой заделки на кромках и .





Вероятность потери устойчивости верхнего слоя рассматривается только для  . Это относительно тонкая накладка, так как для более толстых накладок нагрузка, при которой верхний слой может потерять устойчивость больше, чем критические усилия.

Из рис. 2 видно, что с увеличением отношения растет максимум  . Так же при больших растет коэффициент жесткости , что приводит к увеличению напряжений на податливой опоре элементов 5 и 6 и снижению при малом . Сравнивая рис. 2 и 3 можно заметить, что для жесткой заделки это явление наблюдается уже начиная с . Дальнейшие эксперименты показали, что качественно картины зависимостей рис. 2 и 3 меняются не значительно с изменением значения и . Поэтому для случая свободной заделки не целесообразно проектировать пластину верхнего слоя с и при малом значении ; для случая жесткой заделки   с и при малом значении .

Следует отметить, что при значении увеличиваются напряжения нижнего слоя в районе накладки, что делает нецелесообразным подкрепление пластины накладкой в этом диапазоне.

Далее меняется толщина пластины нижнего слоя и мм и проведенные эксперименты повторяются при тех же отношениях . Затем меняется длина сторон опорного контура мм и мм и описанный выше цикл экспериментов для , и  мм повторяется.

Цикл экспериментов для каждого и сопровождается построением графиков зависимости от для каждого отношения . Всего 18 циклов экспериментов, аналогичных циклу, представленному, например, на рис. 2 (9 для жесткого и 9 для свободного условий закрепления на кромках и ).

Проведенные эксперименты позволяют установить количественные связи между графиками, построенными для различных и с учетом условий (1). Так, установлено, что:

1.    нагрузка, соответствующая возникновению фибровой текучести хотя бы в одном из элементов расчетной схемы, изменяется прямо пропорционально квадрату толщины пластины нижнего слоя и обратно пропорционально квадрату длины сторон опорного контура основной пластины.

2.    нагрузка, соответствующая возникновению контакта между пластиной верхнего и нижнего слоя, изменяется прямо пропорционально кубу толщины пластины нижнего слоя и обратно пропорционально четвертой степени длины сторон опорного контура основной пластины.

Например, надо спроектировать двухслойную пластину, аналогичную рис. 1 (условия (1)), но с размерами, отличающимися от тех, для которых построены зависимости на рис. 2 (произвольными размерами) и свободной заделкой на всех кромках. Пусть произвольные размеры и  мм. Для этого:

1. Каждое значение графиков на рис. 2 умножается на коэффициент и откладывается вдоль оси абсцисс.




2. Каждое значение графиков на рис. 2 умножается на коэффициент и откладывается вдоль оси ординат.

Построенные зависимости позволяют определить оптимальные размеры пластины верхнего слоя по критерию напряжений фибровой текучести. Для проектирования по критерию возникновения контакта между пластинами .



Например, надо спроектировать двухслойную пластину, аналогичную рис. 1 (условия (1)), но с размерами, отличающимися от тех, для которых построены зависимости на рис. 2 (произвольными размерами) и свободной заделкой на всех кромках. Пусть произвольные размеры и  мм. Для этого:

1. Каждое значение графиков на рис. 2 умножается на коэффициент и откладывается вдоль оси абсцисс.

Для произвольного отношения нагрузка, соответствующая возникновению напряжений фибровой текучести может быть найдена путем линейной интер или экстраполяции из ближайших к данному.

Проектирование по критерию контактного взаимодействия между поверхностями пластин сводится к нахождению тех размеров, при которых контакт возникал бы до понижения . Такое явление выявлено (на основании проведенных циклов численных экспериментов) для пластины с размерами мм и у всех отношений . Например, у мм и (рис. 2) только у трех меньших. Приравняв, получим:



(2)

   условие оптимального возникновения контакта для всех отношений ;



(3)

   условие оптимального возникновения контакта для трех (меньших) отношений ;

Значения, при которых реализуются зависимости рис. 2 и 3, как зависимости от относительной длины получаются путем приравнивания

.

(4)

Графическая интерпретация выражений (2), (3) и (4) показана на рис. 4.




Рис. 4 позволяет проектировать двухслойную пластину по условиям оптимального контактного взаимодействия между слоями при поперечном изгибе.

Например, если длина сторон опорного контура пластины мм, то контакт между слоями будет возникать по достижении максимального значения при для трех минимальных отношений (см. рис. 2, 3); при для всех отношений . Если , то до достижения максимального значения, если , то после достижения максимального значения. Как показано выше, максимальное значение и зависимости от значения для можно узнать из рис. 2 и 3 путем пересчета зависимостей этих рисунков с помощью коэффициентов и .

2. Пластическая стадия

Пластина ступенчато – переменной толщины в составе обшивки корпусной конструкции, опирающаяся на жесткий квадратный контур, , мм показана рис. 5. Материал пластины жесткопластический без упрочнения с пределом текучести . Длина участка увеличенной толщины (участок нахлеста) обозначается , . На конструкции рис. 5 участок нахлеста применяется как для повышения прочности рассматриваемой пластины, так и для создания жесткой заделки на соседнем контуре.

Для создания методики проектирования пластины ступенчато – переменной толщины, работающей в пластической стадии, выполняется ряд расчетов ее предельной нагрузки, , . По итогам расчетов строится зависимость от .



Рассматриваются четыре кинематических механизма разрушения пластины. На практике реализуется тот, который ближе к механизму, соответствующему меньшей предельной нагрузке (минимальные свойства поля скоростей [6]). При различном значении один из 4-х механизмов дает меньшее значение .

Аналогично рис. 2 расчеты зависимости от выполняются для разных значений отношения участка нахлеста к участку основной пластины . Точки перехода одного механизма (с увеличением значения для одного механизма это значение уменьшается для другого) отмечаются для соответствующего значения . После выполнения расчетов меняется значение длины сторон опорного контура , , .

Методика проектирования пластины ступенчато – переменной толщины применяется для определения оптимальных размеров участка нахлеста по критерию предельной нагрузки и по критерию образования механизма разрушения.

По результатам проведенных расчетов выявлено, что зависимость от для обратно пропорциональна изменению квадрата длины сторон опорного контура пластины . Зависимость от для прямо пропорциональна квадрату изменения , что следует непосредственно из алгебраических выражений для расчета .

Таким образом, имея ряд зависимостей от для различных и, например, и  мм (аналог рис. 2), можно получить зависимости для других и .

Наиболее опасными механизмами можно считать, те у которых линия перехода участка нахлеста в участок пластины совпадает с образованием пластического шарнира.

Области реализации этих механизмов показаны на рис. 6 штриховыми линиями. Проведенные расчеты предельной нагрузки показали, что точки перехода одного механизма в другой зависят от двух величин: и . Это позволяет построить графики зависимости точек перехода механизмов, показанные на рис. 6, которые справедливы для пластины ступенчато – переменной толщины с любыми значениями и .

На рис. 6 цифрами отмечены значения предельной нагрузки для соответствующих значений , , при значениях и  мм. С изменением и  мм цифры меняются квадратично, как сказано выше, а сами графики рис. 6 остаются. Для расчета предельной нагрузки между этими цифрами необходимо пользоваться непосредственно графиками зависимостей от для различных .

Если на практике используется отношение , для которых не был выполнен расчет, то пересчет при помощи коэффициентов делается для двух ближайших отношений , к отношению . Затем, путем интерполяции, строится искомая зависимость от для .


Литература


1. Баженов В. А. Строительная механика. Применение метода граничных элементов. Специальный курс. / Баженов В. А., Оробей В. Ф., Дащенко А. Ф., Коломиец Л. В.   Одесса: Астропринт, 2001. – 288 c.

2. Бреббия К. Методы граничных элементов. / Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л.   М.: Мир, 1987. – 530 с.

3. Справочник по строительной механике корабля в трех томах Т. 2 / под ред. проф. докт. техн. наук О. М. Палий.  - Л.: Изд-во «Судостроение», 1982. – 980 с.

4. А.А. Курдюмов. Строительная механика корабля и теория упругости. Т. 2. Основы теории упругости. Изгиб и устойчивость пластин и оболочек.  / Курдюмов А.А., Локшин А.З., Иосифов Р.А., Козляков В.В. Л. – Судостроение, 1968. – 464 с.

5. Мамонтов А.И. Сходимость итерационного процесса при расчете стержневой системы методом граничных элементов / А.И. Мамонтов, А.П. Аносов, П.П. Карпов // Приоритетные направления развития науки и технологий: доклады Всероссийской научно-технической конференции – Тула : Издательство ТулГу, 2007. – С. 173-175

6. Качанов Л. М. Основы теории пластичности издание второе переработанное и дополненное / Л. М. Качанов. – М.: Изд-во «Наука», 1969. – 420 с.