bigpo.ru
добавить свой файл
1
Из сборника ФИПИ

«ЕГЭ-2011. Математика. Универсальные материалы для подготовки учащихся»

(изд-во «Интеллект-центр», 2011г., подписано в печать 03.08.10)


С4.2 Диагонали АС и ВТ трапеции АВСТ пересекаются в точке Е .

Найдите площадь трапеции, если площадь треугольника АЕТ равна 9 ,

а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3 .


С4 на стр. 124 В треугольнике АВС стороны АВ = 6 , ВС = 8 , СА = 4 . Точка Т

лежит на прямой ВС так, что ВТ : ТС = 1 : 3 . Окружности, вписанные в каждый

из треугольников АТС и АТВ , касаются стороны АТ в точках К и Р .

Найдите длину отрезка КР .

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

С5.6 Найдите все такие значения a , при каждом из которых для любого b система

имеет единственное решение.


С5.5 Найдите все такие значения a , при каждом из которых для любого b система

имеет хотя бы одно решение.


С5.11 Найдите все такие значения a , при каждом из которых система

имеет ровно два решения.


С5.12 Найдите все такие значения a , при каждом из которых система

имеет ровно два решения.


С5.13 Найдите все такие значения a , при каждом из которых для любого a система

имеет хотя бы одно решение,

и всякое её решение удовлетворяет условию x = y .


С5.14 Найдите все такие значения a , при каждом из которых для любого a система

имеет хотя бы одно решение,

и всякое её решение удовлетворяет условию 2x = y .


С5.15 Найдите все такие значения a и b , при которых система уравнений

имеет единственное решение.


С5 на стр. 124 Найдите все такие значения a , при каждом из которых функция

имеет хотя бы одну точку максимума.

С5 на стр. 127 Найдите все такие значения a , при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

С5 на стр. 131 Найдите все такие значения a , при каждом из которых система

имеет ровно два решения.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

С6.1 Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно

78 , а наибольший общий делитель равен 13 .

С6.2 Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно

360 , и разность которых равна 66 .

С6.11 Каким может быть наибольший общий делитель двух натуральных чисел, если

при увеличении одного из этих чисел на 6 он увеличивается в четыре раза?

С6.8 Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел a и c , если

наибольший общий делитель натуральных чисел a и b равен 60 , а наибольший

общий делитель натуральных чисел b и c равен 270 ?

С6.3 Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55 .

С6.6 Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами

в обратном порядке, равно 2430 . Найдите все такие числа.

С6.9 На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки

клеток, причём числа m и n взаимно простые и . Диагональ

прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток из этого прямоугольника.

Найдите все возможные значения m и n .

С6 на стр. 124 Перед каждым из чисел 5, 6, … , 9 и 12, 13, … , 17 произвольным

образом ставят знаки плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся

чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора,

а затем все 30 получившихся результатов складывают. Какую наименьшую по

модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

С6 на стр. 127 Десятичная запись натурального числа состоит из различных цифр,

среди которых нет нуля. Какое наибольшее число цифр может содержать это число,

если оно делится нацело на каждую из своих цифр?

С6 на стр. 131 Одно из двух двузначных натуральных чисел в два раза больше другого.

Найдите все пары таких чисел, если цифры меньшего из них равны сумме и

разности цифр большего.


НОК и НОД , решение уравнений в натуральных числах


С6.1 Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно

78 , а наибольший общий делитель равен 13 .

С6.2 Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно

360 , и разность которых равна 66 .

С6.11 Каким может быть наибольший общий делитель двух натуральных чисел, если

при увеличении одного из этих чисел на 6 он увеличивается в четыре раза?

С6.8 Каким может быть наибольший общий делитель натуральных чисел a и c , если

наибольший общий делитель натуральных чисел a и b равен 60 , а наибольший

общий делитель натуральных чисел b и c равен 270 ?

С6.3 Найдите все пары натуральных чисел, разность квадратов которых равна 55 .

С6.6 Произведение натурального числа и числа, записанного теми же цифрами

в обратном порядке, равно 2430 . Найдите все такие числа.

С6.9 На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник с вершинами в узлах сетки

клеток, причём числа m и n взаимно простые и . Диагональ

прямоугольника не пересекает ровно 116 клеток из этого прямоугольника.

Найдите все возможные значения m и n .

С6 на стр. 131 Одно из двух двузначных натуральных чисел в два раза больше другого.

Найдите все пары таких чисел, если цифры меньшего из них равны сумме и

разности цифр большего.


Ответы и указания


С4.2 16 или 144 Указание: рассмотрите случаи и .

Покажите, что , а .


С4 на стр. 124 5 или 3 Указание: рассмотрите сначала, например, случай, когда

точка Т делит ВС внутренним образом. Обозначив ВК = a , КР = x , РС = b ,

и, приняв во внимание равенство отрезков касательных к окружности,

проведённых из одной точки, получите систему уравнений ,

откуда найдёте x = 3 . Случай, когда точка Т делит ВС внешним образом,

рассматривается аналогично.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

С5.6 Указание: примите во внимание, что если (x , y ) - какое-то решение

данной системы уравнений, то и (x , y ) также будет решением системы.

Используйте графический метод.


С5.5 Указание: используйте графический метод.


С5.11 Указание: обозначив , перепишите исходную

систему в виде и примите во внимание, что при первое

уравнение системы не имеет решений, а при оно имеет единственное

решение , причём , и тогда дискриминант второго уравнения

положителен.


С5.12 Указание: обозначив , ,

перепишите исходную систему в виде и примите во внимание, что

при эта система не имеет решений, а при она имеет единственное

решение , а дискриминант уравнения положителен.


С5.13 Указание: установите, что при условии x = y система имеет решение

только если а равно 1 , 0 или -1 . Проверьте, что при а = 1 и при а = -1

система не имеет решений со свойством , а при а = 0 такое решение

системы есть.


С5.14 Указание: установите, что при условии 2x = y система имеет

решение только если а равно 0 , 1 или 2 . Проверьте, что при а = 0 и при

а = 2 система не имеет решений со свойством 2, а при а = 1 такое

решение системы есть.


С5.15 Указание: примите во внимание, что если (x , y , z) - какое-то

решение данной системы уравнений, то (y , x , z) , (-x , -y , z) и (-y , -x , z)

также будут решениями системы. Используйте оценки.


С5 на стр. 124 Указание: примите во внимание, что

график функции составлен из кусков двух парабол, ветви

которых расположены вверх. Установите далее, что единственной точкой

(локального) максимума может быть только точка при условии, что

вершина левой параболы расположена слева от прямой , а вершина правой

параболы расположена справа от прямой .


С5 на стр. 127 Указание: перепишите исходное уравнение в виде

и используйте графический метод в системе координат (х , а) .


С5 на стр. 131 Указание: примите во внимание, что параболы

и симметричны относительно прямой . Установите, что

или . Рассмотрите каждый из этих случаев или определите условия

касания и условия пересечения двух выше упомянутых парабол.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

С6.1 (78, 13) или (26, 39) Указание: примите во внимание, что произведение чисел

любой подходящей пары равно , и любое из чисел пары

кратно 13 .


С6.2 90 и 24 Указание: установите, что среди делителей числа

есть только две пары с разностью 66 , а именно: 72 и 6 , 90 и 24 . Убедитесь,

что подходит только вторая пара.


С6.11 2 или 6 Указание: примите во внимание, что если , а ,

то , так что .


С6.8 108 или 540 Указание: примите во внимание, что и

, так что .


С6.3 (28, 27) или (8, 3) Указание: примите во внимание, что

.


С6.6 54 и 45 Указание: преобразуйте уравнение к виду

. Получите отсюда, что .


С6.9 (2, 117) или (3, 59) Указание: задача сводится к решению уравнения

в натуральных числах.


С6 на стр. 124 1 и 645 Указание: наибольшей итоговая сумма будет, если все знаки

будут плюс; тогда итоговая сумма будет равна



Покажите, что итоговая сумма всегда нечётна и, следовательно, не может быть

равна нулю. Наименьшая по модулю сумма 1 может быть получена, например,

так:


С6 на стр. 127 7 , например 1237896 или 7198632 Указание: покажите

последовательно: 1) если в десятичной записи числа есть цифра 5 , то в таком

числе не более пяти цифр; 2) если в десятичной записи числа нет цифры 5 ,

а само число не делится на 3 , то и в таком числе не более пяти цифр; 3) если в

десятичной записи числа нет цифры 5 , а само число делится на 3 , то в таком

числе не более семи цифр; 4) постройте пример такого семизначного числа.

С6 на стр. 131 17 и 34 Указание: задача сводится к решению уравнений

и

в натуральных числах.