bigpo.ru
добавить свой файл
  1 2 3 4

4.1 Векторный суперэлемент. В каждой треугольной ячейке , на границе которой расположено 3N счетных узлов (сетка ), построим систему из 3×3N базисных вектор-функций (они зависят и от ) как решения элементарных краевых задач:


(20)


Кроме того, определим еще базисные функции как решения неоднородного уравнения в с нулевыми значениями на :


, (21)


где - полный скалярный интерполяционный базис на и - полный скалярный интерполяционный базис в , являются заданными функциями.

Решение краевых задач в треугольной ячейке осуществлялось: методом коллокаций, Галеркина, методом минимальных интегральных невязок, МКЭ. Исследовалась точность решения в зависимости от порядка схемы N и способа решения.

Векторным суперэлементом (СЭ) порядка N назовем треугольную ячейку , оснащенную системами базисных вектор-функций :




(22)


4.2. Приближенное решение в ячейке.

Приближенное решение в ячейке ищется в виде

(23)

здесь - неизвестные пока сеточные значения искомого решения , - локальный номер узла на , - номер компоненты; - известные значения сеточного представления правой части, - локальный номер узла в . Индекс у вектор-функции обозначает номер базисной функции с граничными значениями в (20), а у вектор-функции индекс обозначает номер базисной функции, являющейся решением уравнения с правой частью в (21).

4.3. Конструкция базисных функций для однородной задачи.

Элементарная ячейка сетки рассматривается как отдельная изолированная область, в которой надо решить серию краевых задач (20), отличающихся данными на границе . Базисные трёхкомпонентные вектор-функции ищутся как слабое решение (20) в виде полиномиальных функций:


(24)


Пока полагаем , но рассматривается вариант с .

Система уравнений для нахождения коэффициентов , в (24) строится в соответствии с уравнением (13) для однородной задачи с тестовыми функциями .

(25)

- для это система из уравнений с неизвестными с одной и той же матрицей с элементами



Для дальнейшего нам будет удобно представить матрицу системы (25), состоящей из блоков, сгруппировав блок в соответствии с видом уравнения (5а):


(26)


Таким образом, для построения функций надо один раз обратить матрицу и 3×3N раз умножить на вектор правой части .


4.4. Конструкция базисных функций неоднородной задачи.

Базисные трёхкомпонентные вектор-функции ищутся как слабое решение неоднородного уравнения (21) в с нулевыми значениями на в виде:

(27)

Система уравнений для нахождения коэффициентов , строится в соответствии с (13) с тестовыми функциями .


, (28)

где .

Это система уравнений с той же матрицей , что и (25). Таким образом, для построения функций надо 2M раз умножить матрицу на вектор правой части .

4.5 Вычисление коэффициентов разностной схемы. После того как найдены коэффициенты . выражения (23) подставляются в (13), в качестве берутся . Уравнение (13) записывается в виде:

, (29)

Для формирования разностных уравнений предварительно в каждой ячейке вычисляются функционалы:

.

Собирая матрицу жесткости из функционалов при коэффициентах по шаблону типа «звезда» или «ромб», мы получим систему алгебраических уравнений в на итерации (3), здесь – номер узла глобальной сетки в .

(30)

4.6 Вычислительный алгоритм. К уравнениям (30) надо добавить еще одно уравнение, условие нормировки для : . В модельных задачах для решения переопределенной системы (30) используется стандартная программа DLSBRR из MSIMSL. Сделав несколько итераций () решения нелинейной задачи (2), мы получаем решение нестационарной задачи на шаге по времени.


5. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ


5.1. Задача о тепловой конвекции

Результаты расчетов модельной задачи о тепловой конвекции (GAMM-test 89) по схеме МКСЭ 3-го порядка приведены на рисунках 2,3: - прямоугольник XY со сторонами 41, , , где - число Грасгофа. При устанавливается один вихрь, при – два вихря. Число Грасгофа характеризует степень нелинейности задачи [12]. Расчеты проводились на ортогональной сетке с числом треугольников равным (область делится на прямоугольников, которые делятся диагональю из левого нижнего угла в верхний правый на два треугольника). В первом расчете для установления решения требовалось 4 шага по времени, во втором – 60.


1. , .

2. .

На рисунках представлена также функция тока : Stream.fun =

.

5.2. Точное решение модельной задачи:

Исследовалась зависимость точности решения от порядка схемы [13]. На рис. 4 приведен расчет модельной стационарной нелинейной задачи с известным точным решением на той же сетке:

.

.

В таблице приводится зависимость числа итераций от порядка схемы и числа Рейнольдса , . Итерации велись до: , .



Norder

Re

160

1600

m

ή

m

ή

1

14









2

16









3

13



20





<< предыдущая страница   следующая страница >>