bigpo.ru
добавить свой файл
  1 2 3 4

В данной работе предлагается следующее определение слабого решения задачи (5). Определим форму

(12)

и тестовое пространство функций с компонентами и , поэтому в контурном интеграле формулы (6) после умножения векторов останется только, где - внешняя нормаль к .

Слабым решением задачи (5) назовем непрерывную функцию ==, которая на границе ячеек состоит из интерполяционных полиномов заданной степени (порядок схемы). Внутрь ячейки она продолжается как приближенное решение уравнения (5) в классе полиномов более высокой заданной степени и удовлетворяет уравнению


, (13)

,

: , ; .



  1. АППРОКСИМАЦИЯ


3.1. Основная сетка. Предполагаем, что с помощью правильной триангуляции в области можно построить сетку, в общем случае неструктурированную, с треугольными ячейками , причем и любые два треугольника либо не пересекаются, либо имеют общее ребро, либо общую вершину. Узлы сетки расположены в вершинах треугольников (схема первого порядка), а также, в зависимости от порядка схемы N, на каждой стороне треугольника вводится N-1 узел. Всего на границе треугольника вводится 3N счетных узлов (назовем их объединение ), в которых должны быть определены значения сеточной функции , , здесь - локальный номер узла в ячейке. Объединение по всем ячейкам назовем сеткой . Полином , интерполирующий след функции на по 3N узлам, будем записывать в виде:

, (14)

- система функций, образующая на полный интерполяционный базис порядка N относительно системы узлов , и . Узел , в котором функция называется ее полюсом.

3.2. Вспомогательная сетка. Для кусочно-гладкого восполнения известных сеточных функций внутри ячейки будем использовать также сетку , которая совпадает с сеткой для , а для сетка включает еще внутренние узлы в треугольнике. Число узлов M сетки равно , из них узла лежит внутри треугольника. Полином , интерполирующий, например, функцию по M узлам в ячейке, будем записывать в виде:

, (15)

- система функций, образующая в полный полиномиальный базис степени N относительно системы узлов , где . Для системы базисных функций и совпадают. Для

3.3. Конструкция скалярных функций , , .

Прежде всего, делается преобразование системы координат в систему координат так, чтобы треугольник с вершинами: перешёл в треугольник с вершинами :

(16)

- Якобиан преобразования.


y






1








T







I










O

x

O



1



Рис. 1


Обратное преобразование имеет вид:



Координаты нормали , например, ко второй стороне треугольника имеют выражения:

.


Исходным для построения функций , является степенной предбазис, состоящий из мономов – степеней переменных , которые обозначаем . Структуру предбазиса представим в виде «бесконечного» треугольника Паскаля, занумеровав функции по строкам слева направо и сверху вниз.




Мономы разделяем на граничные и внутренние. Функции интерполяционного базиса порядка N на границе треугольника строятся из мономов, расположенных по границе первых N+1 строк треугольника Паскаля, в виде


, . (17)

Коэффициенты находятся обычным способом построения интерполяционного базиса из условия: . Порядок расположения узлов вдоль границы треугольника и номера граничных мономовдля каждого порядка схемы N строго определены. Узлы занумерованы в направлении против часовой стрелки, начиная с узла , список номеров задаётся таблицей. Например, чтобы построить функции для схемы третьего порядка, надо выделить в бесконечном треугольнике Паскаля первые четыре строки и взять в (17) все граничные мономы, начиная с 1. Коэффициенты , не зависят от номера треугольника , вычисляются для каждого N один раз и хранятся на диске.

Таким же образом строятся функции полного полиномиального базиса степени N в треугольнике , в которые входят уже все мономы из первых N+1 строк треугольника Паскаля, включая внутренние:


, . (18)

Нумерация узлов и мономов идет сначала по границе как в (17), затем по внутренним мономам подобно исходной нумерации . Коэффициенты , вычисляются для каждого N также один раз и хранятся на диске. Будет использоваться также система линейно-независимых функций, обращающихся в ноль на границе:

(19)


4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ


Метод конечных суперэлементов является проекционно-сеточным методом. Построение схемы состоит из двух этапов: построение базиса в ячейке (суперэлемент) и вычисление коэффициентов схемы. Основной конструкцией является построение специального базиса в счетной ячейке, размеры которой велики по сравнению со степенью гладкости искомых функций. Базисные функции должны отражать эту негладкость решения внутри ячейки. В стандартном МКСЭ для этой цели в ячейке вводится подробная сетка, на которой базис рассчитывается каким-либо конечно-разностным методом, либо МКЭ. В данной работе для построения базиса используется проекционный метод. Для задачи (3) впервые предлагается конструировать векторный суперэлемент [8].


<< предыдущая страница   следующая страница >>