РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Ордена Ленина Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша

Л.Г. Страховская

Об одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса


Москва 2006

Л.Г. Страховская

Об одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса


АННОТАЦИЯ


Построен вариант метода конечных суперэлеменов (МКСЭ) для расчёта течений вязкой несжимаемой жидкости с преобладанием конвективного переноса в двумерных областях на треугольной неструктурированной сетке.


L.G. Strakhovskaya


One FSEM variant for Navier-Stokes equations


ABSTRACT


A variant of the finite superelement method (FSEM) for computing of 2-D viscous incompressible flows from a predominance of convective transfer on unstructured triangular meshes is constructed.


Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-01-00573)


СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………….………………........3 1. Постановка задачи……………………...…..………………………………4

2. Слабая постановка задачи.....………………………………………………6

3. Аппроксимация.…..………………………………………………………...9

4. Метод конечных суперэлементов………..…………………………...…..12

5. Вычислительный эксперимент……….……….………..…………………16

6. Заключение…..………………………….………………………………….17

Список литературы ………………………………………………………..24


ВВЕДЕНИЕ


Развивается одно из направлений в конструировании разностных схем для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях сложной формы. Пространственные аппроксимации нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса на треугольной неструктурированной сетке строятся методом конечных суперэлеменов (МКСЭ) для чисел Рейнольдса в диапазоне . Обобщённое (слабое) решение ищется в пространстве непрерывных функций, пространство следов которых на границе ячеек состоит из интерполяционных полиномов заданной степени (порядок схемы). Внутрь ячейки оно продолжается как приближенное решение рассматриваемого уравнения в классе полиномов более высокой заданной степени . Числа и являются параметрами метода.

В стандартном МКСЭ [1] считается, что внутри ячейки решение является «точным» решением рассматриваемого уравнения в классическом смысле, а на границе ячеек удовлетворяет условиям слабой непрерывности потока.

Полиномиальное приближение в данной работе используется в целях экономии времени расчета базисных функций, который необходимо делать во всех ячейках на каждом шаге по времени. Все операции дифференцирования и интегрирования выполняются по аналитическим формулам. В то же время требуется выполнение специального вариационного уравнения аналогичного уравнению в МКЭ, для чего необходимо вычислять интегралы по площади в отличие от контурных интегралов при расчете потоков в стандартном МКСЭ.

В работах [2,3] схемы МКСЭ строятся применительно к двумерному уравнению конвекции-диффузии, которое следует рассматривать как фрагмент нелинейной системы уравнений Навье-Стокса. Такой фрагмент может появиться при итерационном решении стационарной задачи, основанном на общей идее расщепления системы уравнений и линеаризации, или при решении нестационарной задачи по какой-либо неявной схеме. Опыт решения уравнения конвекции-диффузии был использован при решении системы уравнений Навье-Стокса.

МКСЭ был предложен в 1976 году [4] для расчета задач, моделирующих нейтронно-физические процессы в ядерных реакторах [5], а затем использовался для решения задач теории упругости [6]. МКСЭ - это проекционно-сеточный метод, использующий идеи МКЭ, но в деталях существенно отличающийся от стандартных конструкций МКЭ [7]. Основная цель МКСЭ - это расчет задач на сетках с большим шагом, большим относительно степени гладкости искомого решения, но в то же время – эффективный учет мелкомасштабных неоднородностей внутри ячейки, играющих важную роль в рассчитываемых процессах.

В данной работе представлены расчеты трех модельных задач: задача о тепловой конвекции (GAMM-test 89), течение в каверне с движущейся верхней стенкой и задача с известным точным решением. Решение нестационарной задачи осуществляется по неявной схеме, на каждом шаге по времени для разрешения нелинейности делается небольшое число (3-5) итераций типа Ньютона. Используется треугольная не разнесенная сетка, одна и та же для скоростей и давления, узлы сетки расположены в вершинах и на сторонах треугольников. Основное внимание уделяется построению пространственной аппроксимации стационарной линеаризованной системы Навье-Стокса методом конечных суперэлементов. В каждом треугольнике строится векторный суперэлемент: по числу узлов на границе треугольника строятся три векторные трехкомпонентные базисные функции с полюсом в данном узле.

Подробные эксперименты по построению неявной схемы, по решению нелинейной задачи и конструированию векторного суперэлемента будут представлены в следующих публикациях.



1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


Система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области с границей , имеет вид:

, ; , (1)







где - неизвестная вектор-функция скорости, - неизвестная функция давления; - коэффициент вязкости,

функция источника и - заданные функции, а

.

Нестационарную задачу (1) будем решать по полностью неявной схеме, тогда на каждом шаге по времени необходимо решить стационарную нелинейную задачу:


(2)


Для ее решения строится итерационный процесс, в котором на каждой итерации решается линеаризованная краевая задача [8]. Используются итерации типа

.

Полученную линеаризованную дифференциальную систему уравнений Навье – Стокса на итерации запишем в виде:



(3)

.

Здесь - известные функции с предыдущей итерации.

Введём три вектора , опуская индекс :


, , (4)


При условии уравнения (3) могут быть записаны в «почти дивергентной форме»:


, (5)


где матрица и правая часть: .


Для (5) будем использовать также представление


, (5а)


Аппроксимация векторного уравнения (5) на треугольной неструктурированной сетке, полученной некоторой правильной триангуляцией области , строится методом конечных суперэлементов.


2.СЛАБАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


Рассмотрим формальное интегральное тождество, на которое опирается определение обобщенного (слабого) решения уравнения (5): для любой подобласти


(6)


здесь - произвольная гладкая вектор-функция с носителем (пока без требования обращения в ноль на ), - внешняя нормаль к .


2.1. В МКЭ алгоритм построения приближенного решения уравнения (5) состоит в следующем:


а) В области вводится треугольная сетка, в локальной нумерации счетные узлы расположены в вершинах треугольной ячейки (схема 1-го порядка), на сторонах треугольника и, для схем выше второго порядка точности, еще внутри . В узлах нужно вычислить сеточные значения .




б) В выбирается интерполяционный базис , состоящий, например, из полиномов Лагранжа, или Чебышева, или экспоненциальных функций. Внутрь ячейки приближенное решение продолжается интерполированием, пока неизвестных, сеточных значений

. (7)

Заметим, что в случае неоднородной области при недостаточно малом размере ячейки, даже, если известны точные сеточные значения решения, приближенное решение (7) является грубым, не учитывающим сложное поведение решения внутри .

в) Определяется билинейная форма




и скалярное произведение

,

слабым решением уравнения (5) называется [9] непрерывная кусочно-дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению


, , , (8)

т.е. функция должна принадлежать тестовому пространству.

Решение (7) подставляется в (8). Матрица жесткости системы алгебраических уравнений относительно неизвестных собирается из функционалов .


2.2. МКСЭ отличается от МКЭ следующим:

а) счетные узлы расположены в вершинах и на сторонах треугольника, внутри счетных узлов нет.




б) Врассчитываются два интерполяционных векторных базиса , из специальных краевых задач:

,

, , (9)

3N - число узлов на , M - число узлов в .

Внутри ячейки приближенное решение представляется в виде

, (10)

- искомые сеточные значения, - известные сеточные значения правой части.

Задачи (9) в решаются «точно» на подробной внутренней сетке.

в) Слабым решением является непрерывная, кусочно-гладкая функция , которая в точках гладкости (внутри ) является «точным» классическим решением уравнения (5), а на линиях разрыва первых производных (на ) удовлетворяет условию слабой непрерывности потока [1],[2],[10]:

(11)

Решение (10) подставляется в (11). Матрица жесткости системы алгебраических уравнений относительно неизвестных собирается из функционалов типа (11) от базисных функций . Построенная конечно-элементная схема отличается от (8) более точной аппроксимацией решения внутри и, следовательно, на. .

Уравнение (11) можно трактовать как условие того, что в качестве носителя в (5) выбирается крестообразная область меры ноль с центром в узле счетной сетки, а в качестве - характеристическая функция области [11].

3.