bigpo.ru | 1 2 3 4 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Ордена Ленина Институт Прикладной Математики им. М.В. Келдыша Л.Г. СтраховскаяОб одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса Москва 2006 Л.Г. СтраховскаяОб одном варианте МКСЭ для уравнений Навье-Стокса АННОТАЦИЯ Построен вариант метода конечных суперэлеменов (МКСЭ) для расчёта течений вязкой несжимаемой жидкости с преобладанием конвективного переноса в двумерных областях на треугольной неструктурированной сетке. L.G. Strakhovskaya One FSEM variant for Navier-Stokes equations ABSTRACT A variant of the finite superelement method (FSEM) for computing of 2-D viscous incompressible flows from a predominance of convective transfer on unstructured triangular meshes is constructed. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 05-01-00573) СОДЕРЖАНИЕ Введение……………………………………………….………………........3 1. Постановка задачи……………………...…..………………………………4 2. Слабая постановка задачи.....………………………………………………6 3. Аппроксимация.…..………………………………………………………...9 4. Метод конечных суперэлементов………..…………………………...…..12 5. Вычислительный эксперимент……….……….………..…………………16 6. Заключение…..………………………….………………………………….17 Список литературы ………………………………………………………..24 ВВЕДЕНИЕ Развивается одно из направлений в конструировании разностных схем для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости в двумерных областях сложной формы. Пространственные аппроксимации нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса на треугольной неструктурированной сетке строятся методом конечных суперэлеменов (МКСЭ) для чисел Рейнольдса в диапазоне ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В стандартном МКСЭ [1] считается, что внутри ячейки решение является «точным» решением рассматриваемого уравнения в классическом смысле, а на границе ячеек удовлетворяет условиям слабой непрерывности потока. Полиномиальное приближение в данной работе используется в целях экономии времени расчета базисных функций, который необходимо делать во всех ячейках на каждом шаге по времени. Все операции дифференцирования и интегрирования выполняются по аналитическим формулам. В то же время требуется выполнение специального вариационного уравнения аналогичного уравнению в МКЭ, для чего необходимо вычислять интегралы по площади в отличие от контурных интегралов при расчете потоков в стандартном МКСЭ. В работах [2,3] схемы МКСЭ строятся применительно к двумерному уравнению конвекции-диффузии, которое следует рассматривать как фрагмент нелинейной системы уравнений Навье-Стокса. Такой фрагмент может появиться при итерационном решении стационарной задачи, основанном на общей идее расщепления системы уравнений и линеаризации, или при решении нестационарной задачи по какой-либо неявной схеме. Опыт решения уравнения конвекции-диффузии был использован при решении системы уравнений Навье-Стокса. МКСЭ был предложен в 1976 году [4] для расчета задач, моделирующих нейтронно-физические процессы в ядерных реакторах [5], а затем использовался для решения задач теории упругости [6]. МКСЭ - это проекционно-сеточный метод, использующий идеи МКЭ, но в деталях существенно отличающийся от стандартных конструкций МКЭ [7]. Основная цель МКСЭ - это расчет задач на сетках с большим шагом, большим относительно степени гладкости искомого решения, но в то же время – эффективный учет мелкомасштабных неоднородностей внутри ячейки, играющих важную роль в рассчитываемых процессах. В данной работе представлены расчеты трех модельных задач: задача о тепловой конвекции (GAMM-test 89), течение в каверне с движущейся верхней стенкой и задача с известным точным решением. Решение нестационарной задачи осуществляется по неявной схеме, на каждом шаге по времени для разрешения нелинейности делается небольшое число (3-5) итераций типа Ньютона. Используется треугольная не разнесенная сетка, одна и та же для скоростей и давления, узлы сетки расположены в вершинах и на сторонах треугольников. Основное внимание уделяется построению пространственной аппроксимации стационарной линеаризованной системы Навье-Стокса методом конечных суперэлементов. В каждом треугольнике строится векторный суперэлемент: по числу узлов на границе треугольника строятся три векторные трехкомпонентные базисные функции с полюсом в данном узле. Подробные эксперименты по построению неявной схемы, по решению нелинейной задачи и конструированию векторного суперэлемента будут представлены в следующих публикациях. ![]() ![]() 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Система уравнений Навье-Стокса, описывающая течение вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() функция источника ![]() ![]() ![]() ![]() Нестационарную задачу (1) будем решать по полностью неявной схеме, тогда на каждом шаге по времени ![]() ![]() Для ее решения строится итерационный процесс, в котором на каждой итерации решается линеаризованная краевая задача [8]. Используются итерации типа ![]() Полученную линеаризованную дифференциальную систему уравнений Навье – Стокса на ![]() ![]() ![]() ![]() Здесь ![]() ![]() Введём три вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При условии ![]() ![]() где матрица ![]() ![]() Для (5) будем использовать также представление ![]() Аппроксимация векторного уравнения (5) на треугольной неструктурированной сетке, полученной некоторой правильной триангуляцией области ![]() 2.СЛАБАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим формальное интегральное тождество, на которое опирается определение обобщенного (слабого) решения уравнения (5): для любой подобласти ![]() ![]() здесь ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.1. В МКЭ алгоритм построения приближенного решения уравнения (5) состоит в следующем: а) В области ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() б) В ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что в случае неоднородной области при недостаточно малом размере ячейки, даже, если известны точные сеточные значения решения, приближенное решение (7) является грубым, не учитывающим сложное поведение решения внутри ![]() в) Определяется билинейная форма ![]() и скалярное произведение ![]() слабым решением уравнения (5) называется [9] непрерывная кусочно-дифференцируемая функция ![]() ![]() ![]() ![]() т.е. функция ![]() ![]() Решение (7) подставляется в (8). Матрица жесткости системы алгебраических уравнений относительно неизвестных ![]() ![]() 2.2. МКСЭ отличается от МКЭ следующим: а) счетные узлы расположены в вершинах и на сторонах треугольника, внутри ![]() ![]() б) В ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3N - число узлов на ![]() ![]() Внутри ячейки приближенное решение представляется в виде ![]() ![]() ![]() Задачи (9) в ![]() в) Слабым решением является непрерывная, кусочно-гладкая функция ![]() ![]() ![]() ![]() Решение (10) подставляется в (11). Матрица жесткости системы алгебраических уравнений относительно неизвестных ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение (11) можно трактовать как условие того, что в качестве носителя ![]() ![]() ![]() |
![]() |