bigpo.ru
добавить свой файл
1 2


Лекция

Основные уравнения теории оболочек.


Содержание: Оболочка, как физический объект; гипотеза Кирхгофа-Лява; деформации оболочек; напряжения в оболочке; уравнения движения оболочки.

Под оболочками понимают тела, одно из измерений которых (толщина оболочки) много меньше двух других. Поверхность, которая делит пополам толщину оболочки называется срединной. Таким образом, вводя ряд предположений, движение оболочки можно свести к изучению движения ее срединной поверхности. В качестве основного предположения теории тонких оболочек наиболее часто используется гиппотеза Кирхгофа-Лява [6]. Согласно этой гипотезе считается, что нормальное к недеформированной срединной поверхности волокно оболочки остается нормальным к ней и после деформации, а также не меняет своей длины. Поскольку оболочки являются элементами большинства конструкций и механизмов, их изучению посвящено огромное количество работ. Историю вопроса и библиографию можно найти в [1 – 7 ].

Поверхность в каждой точке имеет главные кривизны и соответствующие им радиусы кривизны . Произведение главных кривизн называется гауссовой кривизной поверхности, полусумма средней кривизной. Для оболочки вращения линии главных кривизн совпадают с параллелями и мередианами. Оболочки считаются тонкими, если их толщина много меньше радиуса кривизны.



Рис.1 Цилиндрическая (а) и коническая (б) поверхности вращения.


На рис.1 приведены цилиндрическая (а) и коническая (б) срединные поверхности. Они имеют положительную кривизну параллелей и нулевую кривизну мередианов. Для тороидальной поверхности кривизна может менять знак. Для выпуклых оболочек кривизна положительна. Рассмотрим локальную систему координат оси которой совмещены с касательными к линиям главных кривизн поверхности, а ось направлена по нормали в сторону центра кривизны (рис.2).




Рис.2 Локальная система координат с центром в точке О срединной поверхности. Оси касательные к линиям главных кривизн, ось направлена по нормали к срединной поверхности в сторону центра кривизны.


Обозначим соответственно компоненты перемещения точек срединной поверхности оболочки по введенным осям:

(1)

тогда перемещения точек поверхности, имеющей координату используя гиппотезу Кирхгофа-Лява можно записать в виде (см. рис.3):

(2)



Рис.3 Перемещения точек поверхности, параллельной срединной складываются из перемещений соответствующей точки срединной поверхности и смещений при прогибе с учетом гипотезы кирхгофа-Лява о нерастяжимости нормального волокна.


Определим деформации в направлениях точек поверхности, параллельной срединной и отстоящей от нее на расстоянии только за счет перемещений (рис.4).



Рис.4 Деформация элемента оболочки ABCD при смещениях

Координаты точки А (), а перемещение . Координаты точки В , а перемещение Координаты точки D , а перемещение

Тогда длина элемента АВ после деформации будет равна



Относительное удлинение вдоль направления соответственно равно

(3)

Аналогично получим

(4)

Рассмотрим теперь относительное удлинение вдоль осей, которое получается только за счет нормального перемещения При нормальном прогибе элемент (рис.5) переходит в элемент .



Рис.5 Относительное удлинение волокна оси в результате прогиба.


Если вспомнить что радиус кривизны срединного волокна равен то начальная длина элемента . Его длина после прогиба , отсюда

.

Аналогично . (5)

Определим относительные удлинения элементов линий главных кривизн за счет того, что величина прогиба изменяется вдоль линий (рис.6)



Рис.6 Деформация элемента за счет зависимости прогиба от координат

Пусть прогиб в точке А равен , тогда (6)


Это позволяет найти новую длину элементов и и вычислить относительные удлинения. Так:

аналогично (7)

Остается подсчитать деформацию сдвига . Разобьем ее определение также на составляющие. Первая составляющая возникает при изменении угла между волокнами в результате движения в плоскости (рис.4). Эта величина дается известной формулой удвоенной компоненты тензора деформаций

(8)

Вторая составляющая возникает за счет изменения прогиба (рис.6). Для ее определения найдем длину отрезка . С одной стороны с другой стороны . Приравнивая эти величины, получим



откуда

. (9)

Суммируя (3), (4) с соответствующими величинами в (5), (6) и (7), а также (8) с (9), окончательно получим:



(10)



В теории тонких оболочек считается, что порядок квадратов градиента прогиба равен порядку градиентов перемещений Поэтому квадратами градиента перемещений в плоскостях параллельных срединной поверхности пренебрегают. В этом случае выражения (10) упрощаются:



(11)



Воспользуемся выражениями (1), (2) и из (11) получим:




(12)



Заметим, что часть слагаемых в (12) выражает собой деформации срединной поверхности, поскольку не зависит от (назовем их ), а последние слагаемые, называемые обычно деформациями изгиба явно включают расстояние до срединной поверхности (обозначим их

Таким образом :

(13)

Как и обычные компоненты тензора деформаций, деформации срединной поверхности не являются независимыми и удовлетворяют уравнению совместности:

(14)



следующая страница >>