bigpo.ru
добавить свой файл
1
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ”


  1. Цель работы


Экспериментальное исследование условий устойчивости замкнутых САУ, оценка устойчивости при помощи критериев устойчивости, определение запасов устойчивости.


  1. Краткие теоретические сведения


Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечивающих нормальное функционирование автоматических систем. Поэтому чрезвычайно важно выяснить те условия, которые обеспечивают принципиальную работоспособность системы, ее устойчивость.

Признаком устойчивости САУ является существование установившегося состояния. Если отклонение выходной координаты от заданного значения (т.е. ошибка управления) не стремится к постоянной величине или к нулю, а возрастает или испытывает колебания, то САУ неустойчива. Причинами неустойчивости могут быть инерционность элементов и большой коэффициент передачи разомкнутой системы: многократно усиленное рассогласование, возвращающееся по цепи обратной связи на вход системы, не успевает из-за запаздывания в инерционных элементах отрабатываться.

Не останавливаясь на теоремах, доказанных Ляпуновым, рассмотрим, как можно оценить устойчивость линейных систем, описываемых дифференциальным уравнением вида





(1)


Решение этого уравнения содержит две составляющие, одна из которых yсв(t) (свободная, или переходная, составляющая) определяется решением однородного дифференциального уравнения





(2)


при начальных условиях: y(0) 0; y 0; y’’ 0; ...

В линейных системах, для которых справедлив принцип суперпозиции, усв(t) не зависит от воздействий, а определяется только параметрами системы. В соответствии с определением устойчивости по Ляпунову САУ асимптотически устойчива, если с течением времени при t свободная (переходная) составляющая решения линейного дифференциального уравнения будет стремиться к нулю. На рис. 1,а показаны усв(t), соответствующие устойчивым, а на рис.1,б – неустойчивым системам.

Поведение свободной составляющей определяется решением однородного дифференциального уравнения





(3)


где Ai постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий; pi корни характеристического уравнения a0 + a1 p + ... + an pn = 0.


yсв(t) yсв(t)

yсв(0)


усв(0)


t t


а б


Рис.1. Свободные составляющие переходного процесса в устойчивых (а) и в неустойчивых (б) САУ


Для оценки условий устойчивости необходимо выяснить, когда выражение (3) будет стремиться к нулю. Так как система линейная, на значение свободной составляющей влияют только корни характеристического уравнения, которые зависят от структуры и параметров системы. Эти параметры – вещественные числа. Следовательно, вещественными являются и коэффициенты характеристического уравнения, определяемые параметрами системы и их комбинациями, а это означает, что корни уравнения могут быть либо только вещественными, либо комплексно-сопряженными:






(4)


Если вещественных корней s, а комплексно-сопряженных n-s, то свободная составляющая может быть записана в следующем виде:






(5)


откуда следует, что усв(t) = 0 при t тогда, и только тогда, когда все i и r отрицательны.

На комплексной плоскости корней корни с отрицательными вещественными частями располагаются на левой полуплоскости и называются левыми, а корни, расположенные в правой полуплоскости, называются правыми.

Необходимое и достаточное условие устойчивости линейной системы, следовательно, может быть сформулировано так: линейная система устойчива, если все корни ее характеристического уравнения являются левыми.

Так как при расположении корней слева от мнимой оси система устойчива, а справа – неустойчива, то мнимую ось называют границей устойчивости. Если хотя бы один корень расположен на этой оси, то систему нельзя считать работоспособной: малейшие изменения параметров могут привести к потере устойчивости.

Правило, позволяющее оценивать устойчивость системы (определять местоположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости) без непосредственного вычисления корней, называется критерием устойчивости. Критерии устойчивости разделяются на алгебраические и частотные.

Строгое математическое обоснование критериев устойчивости приводится в ТАУ. Здесь же отметим только, что алгебраические критерии устанавливают связь между коэффициентами характеристического уравнения и расположением его корней на комплексной плоскости. Критерий Михайлова устанавливает связь условий устойчивости с видом годографа функции комплексного переменного, представляющей собой левую часть характеристического уравнения (годограф Михайлова) и формулируется следующим образом:

автоматическая система будет устойчива, если при изменении частоты в пределах 0 < <+ характеристический вектор F(j), начав движение от вещественной оси комплексной комплексной плоскости, вращаясь против часовой стрелки и нигде не обращаясь в ноль, обходит последовательно n квадрантов (где n – степень характеристического уравнения системы).

Критерий Найквиста показывает связь условий устойчивости замкнутых систем основного типа с видом АФХ или ЛАЧХ разомкнутой системы и имеет формулировку:

  1. если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы для 0 < <+ не охватывала точку с координатами (-1, j0);

  2. если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m корней в правой полуплоскости, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ разомкнутой системы для 0 < <+ охватывала m/2 раз точку с координатами (-1, j0).




  1. Пояснения к работе


На рис. 2 представлена принципиальная схема исследуемой системы управления скоростью электродвигателя постоянного тока независимого возбуждения М2 типа МИ-42. Управление двигателем осуществляется от электромашинного усилителя APD типа ЭМУ-50А3, который приводится во вращение асинхронным двигателем М1. Частота вращения исследуемого двигателя измеряется датчиком скорости BR. Сигнал, пропорциональный частоте вращения, через усилитель У поступает на одну из обмоток управления ОУ2 в качестве сигнала главной отрицательной обратной связи по частоте вращения. Обмотка управления ОУ1 является задающей и определяет заданное значение частоты вращения. Так как обмотки управления включены встречно, то они же выполняют и функцию элемента сравнения. Потенциометр R предназначен для настройки коэффициента передачи цепи обратной связи.

Двигатель МИ-42, управляемый по якорной цепи, Через редуктор с передаточным числом q = 256 приводит во вращение нагрузку с моментом инерции Jн = 6900 кг.м2 . Момент инерции, приведенный к валу двигателя, определяется как J*н =JH /q2. Для определения параметров двигателя по методике, изложенной в лабораторной работе «Частотные характеристики стационарных систем», необходимо воспользоваться его паспортными данными: Рном=3,2 кВт, Uном=220 В, Iя ном=18 А, Jд=0,065 кг.м2, Rя=0,376 Ом, Lя=0,004 Гн, nном=2500 об/мин.


A B C


R


uвх uос


ОУ1 ОУ2


Рис. 2. Принципиальная схема САУ


Согласно паспортным данным передаточная функция двигателя в числовом выражении имеет вид






(6)


Параметры ЭМУ определяются также по паспортным данным, которые имеют следующие значения для ЭМУ-50А3: Рэму=4 кВт; Uэму=230 В; Iвх=10 мА; rвх=2100 Ом; Lвх=100 Гн; r1=3,35 Ом; L1=0,6 Гн.

Передаточную функцию ЭМУ соответственно приведенным паспортным данным можно представить как [5]:






(7)


где Кэму=uэму/Iвхrвх 11; Тэму=L1/r1 = 0,178 с; Твх=Lвх/rвх=0,0478 с.

Исследуемой САУ соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3. На схеме обозначены Кос – коэффициент передачи цепи обратной связи, Uвх(s) – изображение входного напряжения.


Uвх(s) (s)


Рис. 3. Структурная схема САУ




  1. Программа работы


Лабораторная работа выполняется в среде моделирующей системы CLASSIC-3. Применительно к структурной схеме САУ (рис. 3) при заданных и неизменных передаточных функциях ЭМУ Wэму(s) и двигателя Wд(s) по варианту значения коэффициента обратной связи Кос (вариант задается преподавателем) проделать следующую работу.

Определить значения полюсов передаточной функции замкнутой САУ, проанализировать их характер и сделать заключение об устойчивости САУ.

Снять переходную характеристику h(t).

Разомкнуть САУ и оценить устойчивость по критерию Найквиста.

Снять логарифмическую амплитудную частотную и логарифмическую фазовую частотную характеристики разомкнутой системы. При совместном рассмотрении частотных характеристик определить запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Построить при помощи моделирующей системы годограф Михайлова. Сделать вывод об устойчивости САУ по критерию Михайлова.

На основании алгебраического критерия Рауса-Гурвица рассчитать предельное значение Кос, при котором САУ теряет устойчивость. Произвести экспериментальную проверку предельного значения Кос.

Варианты значений Кос приведены ниже в табл. 1.

Таблица 1

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

Кос

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

0,20




  1. Порядок выполнения работы


1. Набрать структурную схему замкнутой САУ в формате моделирующей системы CLASSIC-3.

2. Отредактировать параметры структурной схемы согласно заданному варианту.

3. В режиме работы моделирующей системы «Расчеты» выполнить п. 1 и 2 программы работы.

4. Разомкнуть цепь обратной связи перед входным звеном модели САУ. При этом необходимо назначить выходным звеном звено обратной связи. Развернув на весь экран амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой САУ, выполнить п. 3 и 4 программы работы.

Для построения годографа Михайлова в CLASSIC-3 штатной процедуры не существует. Но можно воспользоваться следующим приемом. Для замкнутой САУ определить передаточную функцию и записать (запомнить) ее знаменатель. Знаменатель передаточной функции является характеристическим полиномом D(s), который используется для построения годографа Михайлова. Затем необходимо открыть новое окно редактирования. В окне редактирования модели разместить фиктивное звено с передаточной функцией W(s) = D(s) и назначить его одновременно входным и выходным звеном. Очевидно, что амплитудно-фазовая характеристика этого фиктивного звена будет соответствовать годографу Михайлова, так как математический аппарат построения АФХ и годографа Михайлова один и тот же. Для анализа начальной области годографа необходимо увеличить масштаб его изображения.

6. Для определения предельного значения Кос требуется вывести выражение характеристического полинома замкнутой системы, в котором бы коэффициент Кос был записан в общем виде, а все остальные коэффициенты – в числовом выражении. Далее необходимо составить определитель Гурвица, приравнять первый диагональный минор к нулю и найти искомое предельное значение коэффициента. Равенство нулю диагонального минора означает, что САУ находится на границе устойчивости.


6. Содержание отчета


В отчете необходимо привести задание для выполнения лабораторной работы, структурную схему исследуемой системы с передаточными функциями ее отдельных элементов, экспериментальные и расчетные графики, данные по результатам экспериментов и результаты обработки данных, сделать необходимые заключения и ответить на поставленные вопросы.


7. Вопросы


  1. Какие причины лежат в основе возможной неустойчивости автоматической системы?

  2. Как оценивается устойчивость САУ по поведению свободной составляющей решения линейного дифференциального уравнения?

  3. С какой целью выясняются условия устойчивости САУ?

  4. Что называется критерием устойчивости?

  5. Какие критерии устойчивости наиболее часто используются в теории автоматического управления?