bigpo.ru
добавить свой файл
1


Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №35» г. Владимира


Исследование концентрации внимания школьников
на здоровьесберегающем уроке
с помощью интерполяции полиномами Чебышева



Работу выполнил:
Яшухин Артём Олегович,
ученик 8 «А» класса,
МОУ «Гимназия № 35»
г. Владимир


Руководитель:
Дубова Елена Владимировна,
учитель математики
МОУ «Гимназия № 35»
г. Владимир


Владимир 2011

Содержание


Содержание 1



Введение

Выдающийся русский учёный П.Л. Чебышев (1821-1894), чьё 190- летие со дня рождения отмечается в этом (2011) году, занимался исследованиями в различных областях математики. Он много сделал, например, в области математического анализа. Им был создан новый раздел, известный под названием «Теория наилучшего приближения функции многочленами».

Под приближением функции понимают замену по определенному правилу одной функции другой, близкой к исходной в том или ином смысле. Практическая необходимость в такой замене возникает в самых различных ситуациях, когда данную функцию необходимо заменить более простой и удобной для вычислений. Например, можно восстановить функциональную зависимость по экспериментальным данным. Теория наилучшего приближения функции широко применяется в различных областях человеческой деятельности: физике, радиотехнике, биологии, психологии и др. В данной работе интерполяция зависимостей используется для исследования физиологии учащихся.

Современный процесс обучения в школе связан с интеллектуальными и эмоциональными перегрузками, что приводит к ухудшению психического и физического здоровья учащихся. Особенно остро вопросы сохранения и укрепления здоровья учащихся стоят перед гимназиями и лицеями, в которых обучение ведется на повышенном уровне.

От правильной организации урока зависит функциональное состояние учащихся, их возможность длительно поддерживать умственную работоспособность на высоком уровне. Для повышения эффективности процесса обучения, учителям необходимо иметь информацию о том, как изменяется концентрация внимания (умственная работоспособность) учащихся в ходе урока при различных формах его проведения. Поэтому работа, в которой исследуется изменение концентрации внимания учащихся на здоровьесберегающих и традиционных уроках с помощью математических методов обработки данных, является актуальной.

Проблема, решаемая в данной работе – количественная оценка изменения концентрации внимания учащихся в течение урока. Для решения этой проблемы в работе привлекаются методы математической статистики и теория приближения функций. Научная новизна данной работы заключается в новом сочетании положений теории приближения функций с физиологическим подходом определения концентрации внимания по тесту Бурдона.

В качестве объекта исследования рассматривается концентрация внимания учащихся на уроках, предмет исследования динамика концентрации внимания в зависимости от типа урока (традиционного или здоровьесберегающего).

Цель данной работы - разработать методику количественной оценки изменения концентрации внимания школьников в течение урока на основе интерполяции полиномами Чебышева, и исследовать с её помощью динамику концентрации внимания учащихся на здоровьесберегающих уроках.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

  1. Определить показатель, количественно характеризующий концентрацию внимания учащихся на уроке.

  2. Выполнить планирование эксперимента, в ходе которого должны быть получены наблюдения концентрации внимания в виде, пригодном для статистической обработки.

  3. Получить с помощью интерполяции многочленами Чебышева математическую модель изменения концентрации внимания школьников в течение урока.

  4. Сопоставить модель изменения концентрации внимания школьников в течении здоровьесберегающего урока с аналогичной моделью для традиционного урока.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенная методика проведения эксперимента и составленные вычислительные таблицы могут быть использованы учителями и сотрудниками психолого-физиологической лаборатории для проведения анализа деятельности учителя на уроке и эффективности применения элементов здоровьесбережения.

Консультант по вопросам физиологии: Панфилова Людмила Вячеславовна, кандидат биологических наук, доцент кафедры «педагогики и психологии здоровья» ВИПКРО, педагог-психолог МОУ «Гимназия № 35» г. Владимира.

  1. Подготовка вычислительных таблиц
    для интерполяции полиномами Чебышева


Построить функциональную зависимость по экспериментальным данным можно разными способами. В данной работе для этой цели применяется интерполяция табличной функции полиномом Чебышева.

Для вычисления коэффициентов полинома Чебышева и построения графика полинома были разработаны вычислительные таблицы в табличном процессоре Microsoft Excel. Для отладки работы вычислительных таблиц составлен алгоритм интерполяции табличной функции с помощью полинома Чебышева и проверена правильность его реализации на тестовом примере. Данный алгоритм разработан на основе учебных пособий [4], [5].

Многочлены Чебышева – это две последовательности многочленов Tn(x), Un(x), где n=0 и nϵN и xϵ, которые могут быть выражены с помощью рекуррентных формул: Т0(x)=1, Т1(x)=x, Тn+1(x)=2x Тn(x)- Тn-1(x) (многочлены Чебышева I рода); U0(x)=1, U1(x)=2x, Un+1(x)=2xUn(x)- Un-1(x) (многочлены Чебышева II рода). [2]

Рассмотрим многочлены Чебышева I рода:

Т0(x)=1, Т1(x)=x, Тn+1(x)=2x Тn(x)- Тn-1(x).

Т2(x)=2x Т1(x)- Т0(x)=2x2-1

Т3(x)= 2x Т2(x)- Т1(x)=2x(2x2-1)-x=4x3-3x

Т4(x)=2x Т3(x)- Т2(x)= 2x(4x3-3x)-2x2+1=8x4-6x2-2x2+1=8x4-8x2+1

Т5(x)==16x5-20x3+5x

Т6(x)= 64x7-112x5+56x3-7x

Т7(x)= 64x7-112x5+56x3-7x

Т8(x)= 128x8-256x6+160x4-32x2+1.

Если задана функция y=f(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко.

Например, y=f(x) измеряется в эксперименте. При этом можно составить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. В этом случае выгодно заменить функцию f(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию g(х), которая близка в некотором смысле к f(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают, что f(х)=g(х).

Интерполяция – процесс получения значений функции y=f(x), заданной в виде таблицы значений узлов (xi, yi) при i = 1,.., n, на интервале между двумя соседними значениями узлов. При этом исходная функция приближенно описывается некоторой интерполяционной функцией вида y=g(x), которая совпадает с заданной y=f(x) в узловых точках [4].

Алгоритм интерполяции табличной функции с равноотстоящими узлами
по оси абсцисс с помощью полинома Чебышева


1. По результатам эксперимента составить таблицу значений (числовой пример в табл. 1).

2. Преобразовать независимую переменную x по формуле  (числовой пример в табл. 2).


i

ti

yi

0

0

2

1

1

4

2

2

14

3

3

18

4

4

26

ti

xi

yi

0



2

1



4

2

0

14

3



18

4



26



Таблица 1


Таблица 2

3. Найти коэффициенты полинома Чебышева по формулам

, , где j=1,2,3…n-1.

Числовой пример:





a2=(2(2()2-1)+4(2()2-1)+14(2(0)2-1)+18(2()2-1)+26(2()2-1)=0,741640786

a3=(2(4()3-3())+4(4()3-3())+14(4(0)3-3(0))+18(4()3-3())+26(4()2-3())=-0,316821931

a4=(2(8()4-8()2+1)+4(8()4-8()2+1)+14(8(0)4-8(0)2+1)+18(8()4-8()2+1)+26(8()4-()2+1)=1,941640786

4.Записать интерполяционную функцию по формуле

f(x) ≈ Pn(x) .

Числовой пример:

f(x)≈Pn(x)=0,741640786∙(2x2-1)-0,316821931∙(4x3-3x)+1,941640786∙(8x4-8x2+1)=12,8-12,42173997x+

1,483281572x2-0,741640786-1,267287724x3+0,950465793x+15,533126288x4-15,533126288x2+1,941640786=14-11,471274177x-14,049844716x2-1,267287724x3+15,533126288x4

5.Построить график функции f(xi(ti)), преобразование xi (ti) ,было рассмотрено раньше.



Рисунок 1. Интерполяция табличной функции полиномом Чебышева

  1. Количественное оценивание концентрации внимания

Внимание – направленность и сосредоточенность сознания на каком-нибудь предмете, явлении или деятельности. Одним из свойств внимания является концентрация внимания (умственная работоспособность) [3]. Концентрация внимания – это выделение сознанием объекта и направление на него внимания [3].

Концентрацию внимания можно количественно оценить с помощью теста Бурдона, суть которого заключается в следующем. На бланке с буквами (см. приложение) испытуемый вычёркивает, просматривая ряд за рядом, все буквы В и Н. Через 60 секунд по команде отмечается вертикальной чертой то место, до которого испытуемый успел просмотреть текст. Ошибкой считается пропуск тех букв, которые должны быть зачеркнуты, а также неправильное зачеркивание. Концентрация внимания оценивается по формуле: , где С — число строк таблицы, просмотренных испытуе­мым; n — количество ошибок (пропусков или ошибоч­ных зачеркиваний лишних знаков).

Для получения статистической оценки динамики изменения концентрации внимания в течение урока был составлен следующий план проведения эксперимента:

  1. Провести с помощью теста Бурдона мониторинг концентрации внимания учащихся на традиционных и здоровьесберегающих уроках.

  2. Вычислить средний коэффициент концентрации внимания школьников на традиционном и здоровьесберегающем уроке за 1 минуту до урока, на 10, 20, 30 минутах урока и после его окончания.

  3. Интерполировать полученную табличную функцию с помощью полинома Чебышева.

  4. Построить график полученной интерполяционной функции Чебышева.

  5. Проанализировать полученную модель, сделать выводы об изменении концентрации внимания школьников в течении здоровьесберегающего урока в сравнении с традиционным уроком.

  1. Условия проведения эксперимента и его результаты

В эксперименте принимали участие учащиеся 8 «А» класса МОУ «Гимназия №35» г. Владимира. Обследование школьников проводилось каждую пятницу на третьем уроке в период с 1 сентября по 31 декабря 2010 года. Уроки как в традиционной форме, так и в соответствии с методикой здоровьесбережния проводила учитель математики Дубова Елена Владимировна. Ее методика проведения здоровьесберегающих уроков описана в [1]. За этот период ею было проведено 18 уроков: 9 – традиционных и 9 – здорвьесберегающих.

Тестирование учащихся проводилось за 1 минуту до урока, на 10, 20,30 минутах урока и после его окончания. Всего 5 измерений на одном уроке. По результатам тестирования в табличном процессоре Excel было составлено несколько вычислительных таблиц:

1. Вычислительные таблицы для расчета концентрации внимания каждого ученика на каждом этапе уроке и средней концентрации внимания учащихся на каждом этапе уроке.

2. Вычислительные таблицы для расчета коэффициентов интерполяционной функции Чебышева.

3. Вычислительные таблицы с табличным представлением функции, полученной в результате эксперимента, и оформлен ее график.

По результатам 9 традиционных уроков и 9 здоровьесберегающих уроков с помощью составленных вычислительных таблиц построены средние графики интерполяционного полинома Чебышева

Результаты эксперимента

Сравним изменение концентрации внимания учащихся на традиционных и здоровьесберегающих уроках. Для этого в одной системе координат были построены графики интерполяционных функций.



Рисунок 2. Графики динамики концентрации внимания учащихся на традиционном уроке и здоровьесберегающем уроке

Полученные зависимости позволяют сделать следующие выводы:

  1. Концентрация внимания учащихся (умственная работоспособность) во время здоровьесберегающего урока выше, чем на традиционном уроке на протяжении всего урока.

  2. В течение здоровьесберегающих уроков концентрация внимания (умственная работоспособность) учащихся постоянно увеличивается в течение всего урока и достигает наибольшего значения в конце урока. На традиционных уроках концентрация внимания учащихся сначала снижается до 10 минуты урока, что можно объяснить врабатываемостью в урок, затем увеличивается до 27 минуты урока, а к концу урока опять снижается.

Заключение

В работе исследовалась концентрация внимания (умственная работоспособность) школьников на здоровьесберегающих уроках с помощью интерполяции полиномаими Чебышева.

Рассмотрен вопрос об интерполяции табличной функции с помощью полинома Чебышева. Составлен алгоритм с примером, позволяющий выполнять интерполяцию табличной функции исследователям, не обладающим глубокими знаниями математики. Подобные задачи возникают во многих сферах деятельности, поэтому разработанные вычислительные таблицы могут оказаться полезными специалистам для получения интерполирующих функций в различных исследованиях, например, в физиологии, психологии, физике, химии и т.п.

Рассмотрен показатель концентрации внимания и составлена методика проведения эксперимента по изучению динамики изменения концентрации внимания на уроке. В соответствии с этой методикой проведен эксперимент.

Эксперимент показал, что во время традиционного урока на каждом этапе концентрация внимания ниже, чем во время урока с элементами здоровьесбережения, при этом в течение здоровьесберегающего урока повышается концентрация внимания к концу урока, т.е. наблюдается процесс врабатывания в деятельность.

Предложенная методика проведения эксперимента, составленные вычислительные таблицы, могут быть использованы учителями и сотрудниками психолого-физиологической лаборатории для проведения анализа деятельности учителя на уроке и эффективности применения элементов здоровьесбережения.

Разработанная методика применима для статистической обработки других величин, например, устойчивости внимания, распределения внимания и т.д.


Литература

  1. Дубова Е.В. Конспект урока по математике со здоровьеформирующей и здоровьесберегающей функцией урока // Образование и здоровье: Материалы научно-практической конференции, 20 января 2011 года / Под ред. Л.В. Панфиловой. – Владимир, Собор, 2011. С. 105-119.

  2. Митропольский А.К. Техника статистических распределений. – М.: Наука, 1971.

  3. Римская Р., Римский С. Практическая психология в тестах, или как научиться понимать себя и других. – М.: АСТ-ПРЕСС, 2001.

  4. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1976.

  5. http://lib.usi-ksu.mk.ua/ Электронная библиотека/мат_обробка/inter_aproksim/19 Интерполяция и аппроксимация функций 2003.pdf – учебное пособие.


Приложение: Бланк для проведения теста Бурдона