bigpo.ru
добавить свой файл
1
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ


ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Утверждаю

Декан факультета информатики

С.П. Сущенко

« » 2010 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА


Специальность 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ


Статус дисциплины:

федеральный компонент специальности

Томск - 2010 г.

ОДОБРЕНО кафедрой прикладной информатики


Протокол №50 от 01.12.2010


Зав. кафедрой, профессор _________________С.П.Сущенко


РЕКОМЕНДОВАНО методической комиссией факультета информатики


Председатель комиссии, профессор _____________________ Б.А.Гладких


“___”_____________2010 г.


Рабочая программа по курсу “Дифференциальные уравнения и теория управления” составлена на основе требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ, утвержденного 10 марта 2000 г. Общий объем курса 272 часа. Из них: лекции – 66 часов, лабораторные занятия – 66 часов, самостоятельная работа студентов – 140 часов. Экзамен в третьем, четвертом семестре. Общая трудоемкость курса 8,4 зач. ед.


СОСТАВИТЕЛЬ:

Поддубный Василий Васильевич – доктор технических наук, профессор кафедры прикладной информатики


РЕЦЕНЗЕНТ:



  1. Организационно-методический раздел

Выписка

из Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 351500 – МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ И АДМИНИСТРИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМ (квалификация – математик-программист).

ЕН.Ф.01.05 Дифференциальные уравнения: дифференциальные уравнения 1 порядка; нормальные системы дифференциальных уравнений; линейные дифференциальные уравнения; линейные системы дифференциальных уравнений; дифференциальные свойства решений; устойчивость решений.

ЕН.Ф.01.07 Уравнения математической физики. Введение. Уравнения Лапласа; интегральные уравнения; теория потенциала; задача Штурма-Лиувилля; сферические функции; пространство Соболева; вариационное исчисление; решение краевых задач.

  1. Цель курса – изучение теории дифференциальных уравнений и теории управления.

  2. Задача учебного курса – освоение различных методов решения дифференциальных уравнений разного типа.

  3. Требования к уровню освоения курса – умение применять теорию дифференциальных уравнений к моделированию реальных задач на компьютере.

II. Содержание курса

  1. Темы и краткое содержание

Тема 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения (ДУ). Основные понятия. Определение дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения в частных производных. Порядок и степень дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения. Интегральная кривая, частное решение, общее решение, интеграл дифференциального уравнения. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения, разрешенные относительно производной. Поле направлений касательных. Изоклины. Особые точки и особые решения ДУ. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения первого порядка. Неоднородные уравнения. Метод вариации постоянных. Уравнения в полных дифференциалах. Теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Условия Липшица. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра и начальных условий. Теорема о дифференцируемости решений.

Тема 2. Приближенные методы интегрирования ДУ.

Задача Коши. Метод ломаных Эйлера. Понятие полного метрического пространства. Фундаментальные последовательности. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке. Метод последовательных приближений Пикара. Недостатки метода ломаных и метода последовательных приближений. Метод Эйлера с уравниванием (метода Хьюна). Методы Рунге-Кутты. Схема метода Рунге-Кутты второго порядка точности. Частные случаи. Схема метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности. Понятие порядка точности приближенных методов решения ДУ. Определение по рядка точности метода ломаных Эйлера, метода Эйлера с уравниванием, методов Рунге-Кутты.

Тема 3. Дифференциальные уравнения более высокого порядка.

Система ДУ. Каноническая (нормальная) форма системы ДУ. Векторное ДУ. Фазовое пространство, фазовые переменные, фазовая кривая, фазовая траектория, фазовый портрет ДУ. Динамическая система. Общий интеграл и частное решение векторного ДУ. Начальная задача (задача Коши), двухточечная краевая задача (ДТКЗ), многоточечные краевые задачи. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для векторного ДУ. Линейные векторные ДУ (системы линейных ДУ). Теоремы существования и единственности для линейных векторных ДУ. Линейно независимые системы решений. Определитель Вронского и его свойства. Фундаментальная система решений.

Тема 4. Линейные ДУ с постоянными коэффициентами.

Матричная экспонента. Собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Представление общего решения системы однородных ДУ с постоянными коэффициентами через собственные векторы и собственные числа матрицы коэффициентов. Фундаментальная система решений. Фундаментальная матрица. Представление решений однородной и неоднородной системы ДУ с постоянными коэффициентами через фундаментальную матрицу. Метод вариации постоянных. Теорема Лиувилля.

Тема 5. . Операционное исчисление.

Операционное исчисление Хевисайда. Оригиналы и изображения. Преобразование Лапласа. Основные формулы операционного исчисления (линейность преобразования Лапласа, изображение производных, теорема запаздывания). Теорема единственности. Интегрирование ДУ методами операционного исчисления.

Тема 6. Автономные (консервативные) системы.

Свойства автономных систем. Точка покоя (равновесия). Возможные типы фазовых траекторий автономных систем. Примеры автономных систем: модели “хищник - жертва” (уравнение Лотки-Вольтерра, уравнение Холлинга-Тэннера). Качественная теория автономных систем второго порядка. Линеаризация ДУ вблизи точки покоя. Поля скоростей и направлений исходных и линеаризованных уравнений. Точки покоя как особые точки. Их классификация (узел, фокус, центр, седловая точка) и свойства. Циклы. Точки бифуркации. Бифуркация рождения цикла (бифуркация Хопфа). Предельный цикл. Устойчивый и неустойчивый фокусы. Аттракторы и репеллеры.

Тема 7. Теория устойчивости.

Определение устойчивости по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Неустойчивость. Второй метод Ляпунова. Теорема Ляпунова об устойчивости. Функция Ляпунова. Производная в силу системы ДУ (производная по направлению векторного поля скоростей, производная Ли). Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Теорема Четаева о неустойчивости. Устойчивость положения равновесия линейной однородной автономной системы. Теорема о необходимых и достаточных условиях асимптотической устойчивости. Устойчивость нелинейных автономных систем по линейному приближению. Теоремы Ляпунова и Четаева об устойчивости и неустойчивости по линейному приближению. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Качественный анализ решений линейных (и линеаризованных) ДУ второго порядка по собственным числам матрицы коэффициентов (решениям характеристического уравнения).

Тема 8. Первые интегралы ДУ (законы сохранения).

Определение и свойства первых интегралов. Теоремы о первых интегралах. Связь первых интегралов с фазовым портретом системы и законами сохранения на примере уравнений Лотки-Вольтерра и линеаризованных уравнений Холлинга-Тэннера.


Тема 9. Вариационное исчисление.

Вариационное исчисление. Понятие функционала. Классические задачи вариационного исчисления (задача о брахистохроне, изопериметрическая задача Дидоны, аэродинамическая задача Ньютона). Понятие банахова (полного линейного нормированного) пространства функций. Примеры банаховых пространств. Строгое определение функционала в банаховом пространстве. Функционалы интегрального, терминального и смешанного типов. Вариационные задачи Лагранжа, Больца, Майера. Понятия линейности, непрерывности и дифференцируемости функционала. Первая вариация функционала. Теорема о необходимом условии экстремума функционала. Экстремаль функционала. Сильный и слабый экстремумы.

Простейшие задачи вариационного исчисления. Задача оптимизации интегрального функционала (задача Лагранжа). Задача с закрепленными концами. Допустимые функции. Дифференциальное уравнение Эйлера для экстремали. Основная лемма вариационного исчисления. Первый интеграл уравнения Эйлера. Двухточечная краевая задача (ДТКЗ) оптимизации функционала. Задача о брахистохроне. Задача с одним закрепленным и одним подвижным концами. Условия трансверсальности. Задача о брахистохроне при подвижном правом конце. Геометрический смысл условия трансверсальности. Задача со свободными (подвижными) концами. Общие условия трансверсальности. Смешанная задача оптимизации суммы интегрального и терминального функционалов (задача Больца). Уравнение Эйлера и условия трансверсальности для этой задачи. Задача оптимизации терминального функционала (задача Майера). Условия трансверсальности для этой задачи. Обобщение теорем об экстремуме интегрального функционала на случай векторных функций. Система уравнений Эйлера.

Вариационные задачи на условный (связанный) экстремум. Типы связей и допустимые функции (кривые). Задача Лагранжа с конечными связями. Условие независимости связей. Неопределенные множители. Теорема о необходимых условиях экстремума. Уравнения Эйлера. Задача Лагранжа с дифференциальными связями. Задача Лагранжа с интегральными (изопериметрическими) связями. Пример решения изопериметрической задачи (задача Дидоны). Каноническая форма системы уравнений Эйлера. Функция Гамильтона и сопряженные (по Гамильтону) переменные.


Тема 10. Оптимальное управление.

Управляемые системы и пространство их состояний. Вектор управлений. Функционал качества управления. Ограничения на управления. Типы ограничений. Класс кусочно-непрерывных функций. Замкнутые ограниченные и компактные множества. Допустимые и оптимальные управления. Формулировка задач оптимального управления. Классические и неклассические вариационные задачи с дифференциальными связями. Принцип максимума Л.С.Понтрягина. Формулировка принципа максимума Понтрягина (теорема о необходимых условиях оптимальности управления и соответствующей ему траектории).

Оптимальное управление в автономных системах, линейных по управлениям. Релейные (кусочно-постоянные) управления. Точки переключения управлений. Оптимальное управление в линейных и линеаризованных системах. Задачи максимального быстродействия. Визуально-интерактивный метод отыскания точек переключения управлений. Примеры оптимальных по быстродействию систем (управление численностью популяций в системе “хищник-жертва”, описываемой уравнениями Лотки-Вольтерра и Холлинга-Тэннера, максимально быстрая “мягкая” посадка космического аппарата на поверхность планеты и др.).

Принцип оптимальности Р.Беллмана. Условия оптимальности в форме уравнения Беллмана. Связь принципа максимума Л.С.Понтрягина с принципом максимума Р.Беллмана. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов в линейных системах. Управляемость и наблюдаемость линейных систем. Оптимальное управление в форме обратной связи. Задача Летова. Уравнение Риккати. Устойчивость замкнутых систем управления. Другие задачи оптимального управления.


Примерная тематика рефератов, курсовых работ – курсовой проект не предусмотрен.

Ш. Распределение часов курса по темам и видам работ



№№ пп

Наименование тем

Всего часов

Аудиторные занятия (час)

Самостоятельная










в том числе

работа










лекции

семинары

лабораторные занятия




1

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ)


36


10





8

18

2

Приближенные ме-тоды интегрирова-ния ДУ

38


8





10

20

3

ДУ более высокого порядка

26

6




6

14

4

Линейные ДУ с постоянными коэффициентами

36

8




10

18

5

Операционное исчисление

22

6




4

12

6

Автономные (кон-сервативные) системы

30

6




8

16

7

Теория устойчивости

26

6




8

12

8

Первые интегралы ДУ

10

4







6

9

Вариационное исчисление

24

6




6

12

10

Оптимальное управление

24

6




6

12

ИТОГО




272

66




66

140

IV. Форма итогового контроля – зачет, экзамен

V. Учебно-методическое обеспечение курса

  1. Рекомендуемая литература (основная)




  1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1965. – 424 с.

  2. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1959. – 468 с.

  3. Федорюк М.В.Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1980. – 352 с.

  4. Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. – М.: Мир, 1986. –244 с.

  5. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений. – М.:Наука, 1986. – 288 с.

  6. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.– М.: Наука, 1970.

  7. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая Школа, 1963. – 548 с.

  8. Гогейзель Г. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М.–Л.: ОНТИ, 1937. – 128 с.

  9. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с.

  10. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.,Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. – М.: Наука, 1976. – 392 с.

  11. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. – М.: Высшая Школа, 1998. – 574 с.

  12. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. – М.: Наука, 1972. – 432 с.

  13. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. – М.: Наука, 1971. – 396 с.

  14. Бублик Б.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. – Киев: Вища Школа, 1975. – 328 с.

  15. Гноенский Л.С.,Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. – М.: Наука, 1969. – 512 с.

  16. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. – М.: Наука, 1978. – 488 с.

  17. Справочник по теории автоматического управления /Под ред. А.А.Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

  18. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. – М.: Мир, 1977. – 656 с.

  19. Воронов А.А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость. – М.: Наука, 1979. – 336 с.

  20. Беллман Р. Динамическое программирование. – М.: ИИЛ, 1960. – 400 с.




  1. Дополнительной литературы не требуется.


Лабораторные работы

Часть 1. Дифференциальные уравнения

Лабораторная работа №1. Метод ломаных Эйлера. Программная реализация метода ломаных. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных методом ломаных. Исследование сходимости метода. Исследование зависимости точности решения от величины шага интегрирования и интервала интегрирования. Графическое (визуальное) сравнение последовательности интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной (высокой) точностью. Иллюстрация работы метода ломаных Эйлера на первых двух шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом).

Лабораторная работа №2. Метод Эйлера c уравниванием (метод Хьюна). Программная реализация метода Эйлера с уравниванием. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этим методом. Исследование сходимости метода. Исследование зависимости числа итераций от требуемой точности решения, от времени, от величины шага интегрирования. Построение семейства графиков зависимостей числа итераций от времени при различных значениях величины шага интегрирования. Исследование зависимости точности решения от величины шага интегрирования. Графическое (визуальное) сравнение интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге-Кутты порядка точности 4-5 с заданной (высокой) точностью. Иллюстрация работы метода Эйлера с уравниванием на первых двух шагах в увеличенном масштабе (с большим шагом). Сравнение с методом ломаных Эйлера.

Лабораторная работа №3. Методы Рунге-Кутты 2–4 порядков точности. Программная реализация методов Рунге–Кутты. Наблюдение на экране дисплея интегральных кривых и фазовых траекторий, полученных этими методами. Графическое (визуальное) сравнение интегральных кривых и фазовых траекторий с решением, получаемым стандартной процедурой метода Рунге–Кутты порядка точности 4–5 с заданной (высокой) точностью. Наблюдение полного совпадения решений. Исследование сходимости методов. Исследование зависимости числа итераций (дробления шага интегрирования) от требуемой точности решения и от величины начального шага интегрирования. Построение графической зависимости числа шагов интегрирования от требуемой точности решения и фактической точности решения от числа шагов интегрирования. Совмещение графиков зависимостей фактической точности решения от числа шагов интегрирования для методов Рунге–Кутты 2, 3 и 4 порядков точности. Сравнение точности различных схем метода Рунге–Кутты между собой, с методом ломаных Эйлера и с методом Эйлера с уравниванием.

Лабораторная работа №4. Интегральные кривые, фазовые портреты, поля скоростей и направлений. Построение интегральных кривых и фазовых траекторий решений дифференциальных уравнений при различных начальных условиях, как включающих, так и не включающих точки покоя. Наблюдение особых точек. Построение полей скоростей и полей направлений касательных к фазовым траекториям и интегральным кривым. Качественное исследование решений дифференциальных уравнений по полям скоростей и направлений. Исследование в режиме наложения графиков интегральных кривых и фазовых траекторий на поля скоростей и направлений. Исследование характера особых точек. Наблюдение различного характера поведения решений в окрестности центра и узла.

Лабораторная работа №5. Линеаризованные уравнения. Программная реализация решений линеаризованных (относительно точек покоя) систем дифференциальных уравнений. Построение фундаментальных матриц решений линеаризованных автономных систем через собственные векторы и собственные значения матриц коэффициентов. Построение точного решения задачи Коши для линеаризованных уравнений с использованием фундаментальных матриц решений. Сравнение точных решений линеаризованных уравнений с решениями, получаемыми методом Рунге–Кутты для линеаризованных и исходных нелинейных уравнений. Сравнение решений линеаризованных и соответствующих нелинейных уравнений при различных начальных условиях, вблизи и вдали от точки линеаризации. Исследование особых точек линеаризованных уравнений в сравнении с нелинеаризованными при различных значениях параметров систем. Наблюдение явления бифуркации решений. Исследование поведения решений вблизи точки бифуркации. Наблюдение циклов, аттракторов, репеллеров, предельных циклов.

Лабораторная работа №6. Первый интеграл. Программная реализация функций, выражающих первые интегралы уравнения Лотки–Вольтерры и линеаризованного уравнения Холлинга–Тэннера. Наблюдение поверхностей этих функций и проекций их горизонтальных сечений (линий фиксированного уровня) на фазовую плоскость. Наложение на линии уровня фазовых траекторий, соответствующих выбранным (интерактивно) начальным условиям. Наблюдение совпадения или подобия кривых. Вычисление первого интеграла на интегральной кривой. Наблюдение постоянства первого интеграла во времени. Интерпретация наблюдаемых законов сохранения.

Лабораторная работа №7. Устойчивость и второй метод Ляпунова.

Исследование орбитальной устойчивости решений нелинейных и линеаризованных дифференциальных уравнений. Решение матричного уравнения Ляпунова для линеаризованных уравнений. Исследование устойчивости решений этих уравнений вторым методом Ляпунова (по поведению квадратичной функции Ляпунова и ее производной Ли – производной в силу системы – на решениях задачи Коши при начальных условиях вблизи точек покоя). Графическое представление функции Ляпунова и ее полной производной по времени на траектории системы. Сравнение результатов исследования устойчивости вторым методом Ляпунова с результатами, полученными по критерию Рауса-Гурвица.

Лабораторная работа №8. Задача о брахистохроне. Программная реализация решения задачи о брахистохроне при закрепленных концах траектории и при свободном правом конце. Построение брахистохроны (сегмента циклоиды) по задаваемым (интерактивно) точкам ее начала и конца. Вычисление времени спуска по брахистохроне и хорде (прямой, соединяющей начальную и конечную точки). Сравнение времен спуска.


Часть 2. Теория управления

Лабораторная работа №9. Стохастические и детерминированные возмущения. Исследование поведения решений задачи Коши при наличии случайного (использующего датчик равномерно или нормально распределенных случайных чисел) и детерминированного (например, периодического) возмущения правых частей уравнений. Наблюдение управляемости процессов, описываемых моделями “хищник – жертва”. Наблюдение вынужденных колебаний и случайной гибели популяций.

Лабораторная работа №10. Задача Калмана–Летова аналитического конструирования оптимального регулятора (АКОР). Построение оптимального управления линейной системой в форме обратной связи (на примере линеаризованных моделей “хищник – жертва”, описываемых модифицированными уравнениями Лотки–Вольтерры или уравнениями Холлинга–Тэннера). Решение уравнения Риккати в обратном времени. Графики интегральных кривых и фазовых траекторий решений дифференциальных уравнений замкнутой системы. Графики сопряженных траекторий. Графики оптимальных управлений. Асимптотическое (установившееся) значение решения уравнения Риккати. Исследование устойчивости замкнутой системы управления по собственным числам матрицы коэффициентов замкнутой системы. Построение приближенных оптимальных управлений, траекторий и сопряженных траекторий с использованием только асимптотического значения решения уравнения Риккати. Сравнение с точными решениями.

Лабораторная работа №11. Управляемость и наблюдаемость линейных систем. Исследование управляемости и наблюдаемости линейных систем по матрицам управляемости и наблюдаемости (на примере линеаризованных моделей “хищник – жертва”, описываемых модифицированными уравнениями Лотки–Вольтерры или уравнениями Холлинга–Тэннера). Восстановление состояния линейной системы наблюдателем полного порядка при суммарно-разностных наблюдениях. Исследование динамики ошибок восстановления. Сравнение фактических и расчетных ошибок. Восстановление состояния линейной системы наблюдателем пониженного порядка (наблюдателем Люенбергера) при наблюдении только одной из двух компонент вектора состояния (рассматриваются оба возможных случая наблюдения – только первой компоненты и только второй). Исследование динамики ошибок восстановления. Сравнение фактических и расчетных ошибок.

Лабораторная работа №12. Оптимальные (по быстродействию) ограниченные управления в линейной системе. Реализация визуально-интерактивного метода построения оптимального (по быстродействию) управления линейной системой при ограниченных управлениях (на примере линеаризованных моделей “хищник – жертва”, описываемых модифицированными уравнениями Лотки–Вольтерры или уравнениями Холлинга–Тэннера). Построение фазовых траекторий, соответствующих крайним значениям ограниченного управления (истребление “хищников”/”жертв” с максимальной допустимой скоростью или отсутствие вмешательства в систему), с нанесением на траектории отметок времени. Реализация интерактивного выбора (указания) точки на фазовой плоскости, куда требуется перевести популяции за кратчайшее время. Интерактивный выбор начального управления и точки переключения управления. Построение оптимальной интегральной кривой и оптимальной фазовой траектории. Наблюдение излома фазовой траектории в точке переключения управления. Вычисление времени достижения желаемого состояния системы. Сравнение с противоположным выбором начального управления и соответствующей ему точки переключения. Построение и программная реализация алгоритма автоматического выбора оптимального начального управления и оптимальной точки переключения управления. Автоматическое построение оптимальной фазовой траектории, оптимальной интегральной кривой и оптимального управления на интервале времени от заданной начальной точки до достижения целевой точки.

Лабораторная работа №13. Оптимальные (по быстродействию) ограниченные управления в нелинейной системе. Реализация визуально-интерактивного метода построения оптимального (по быстродействию) управления нелинейной системой при ограниченных управлениях (на примере уравнения Лотки–Вольтерры). Построение фазовых траекторий, соответствующих крайним значениям ограниченного управления (истребление “жертв” с максимальной допустимой скоростью или отсутствие вмешательства в систему). Построение второй ветви линии переключения управления, приводящей к точке покоя при максимальном управлении (путем решения системы дифференциальных уравнений управляемого процесса в “обратном” времени с начальным условием в точке покоя). Интерактивный выбор произвольных точек (порядка десяти) на этой линии переключения в качестве начальных точек для решения в “обратном” времени системы дифференциальных уравнений неуправляемого движения и соответствующей системы модифицированных сопряженных уравнений с нулевыми начальными условиями по первой компоненте и единичными по второй. Графическое представление интегральных кривых для первой компоненты модифицированной сопряженной переменной и интерактивное считывание моментов времени появления первых (после начального) нулей этой переменной. Вычисление (путем интерполяции) соответствующих этим моментам времени значений фазовых переменных и построение первой ветви линии переключения управления. Графическое представление в фазовой плоскости обеих ветвей линии переключения управления с указанием точки покоя. Интерактивный выбор произвольного начального условия в области максимального управления или в области отсутствия управления и построение управляемых и неуправляемых участков оптимальной фазовой траектории с интерактивным считыванием координат точек переключения управления. Наблюдение излома фазовой траектории в точке переключения управления. Построение оптимальной интегральной кривой. Вычисление времени достижения точки покоя. Построение и программная реализация алгоритма автоматического выбора при заданном начальном условии оптимального начального управления, оптимальных точек переключения управления и условия остановки процесса управления в точке покоя. Автоматическое построение оптимальной фазовой траектории, оптимальной интегральной кривой и оптимального управления на интервале времени от заданной начальной точки до достижения точки покоя.

Примечание: Лабораторные работы выполняются на примере моделей “хищник – жертва”, описываемых дифференциальными уравнениями Лотки–Вольтерры и Холлинга–Тэннера. Среда программирования – MATLAB for Windows.