bigpo.ru
добавить свой файл
1
Геометрия живой природы: теория фракталов


Введение.


Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бес­конечным повторением одного и то же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т. д. Теоретически, элемент «разветвление» повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше.

Фракталы или самоподобные математические объекты были открыты более века назад, но тогда они никого, кроме авторов этих объектов, не заинтересовали. Ученые не считали, что они имеют какое-либо отношение к реальному миру и науке.

Отношение к  фракталам изменилось с появлением компьютеров, когда появились первые изображения алгебраических и стохастических фракталов (фракталов, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря).

Само понятие фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов.

Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".



Во многих работах по фракталам самоподобие используется в качестве определяющего свойства. Следуя Бенуа Мандельброту, мы принимаем точку зрения, согласно которой фракталы должны определяться в терминах фрактальной (дробной) размерности. Отсюда и происхождение слова фрактал. Понятие дробной размерности представляет собой весьма сложную концепцию. Прямая — это одномерный объект, а плоскость — двумерный. Хорошень­ко перекрутив прямую или плоскость, можно повысить размерность полученной конфигурации; при этом новая размерность обычно бу­дет дробной. Связь дробной размерности и самоподобия состоит в том, что с помощью самоподобия можно сконструировать множество дробной размерности наиболее простым образом.

Самоподобные математические объекты заинтересовали не только математиков, но и физиков, биологов, акустиков, и всех, кто в своей работе  сталкивался с природными объектами. Математиков фракталы привлекали незамысловатостью формул, которыми описываются столь сложные структуры, физиков – возможностью пересмотреть физику с новой позиции, биологов – соответствием изображений фракталов с различными биологическими объектами.

Существует несколько типов фракталов:

  • алгебраические фракталы

  • геометрические фракталы

  • стохастические фракталы

  • рукотворные фракталы (фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами)

  • природные фракталы




Фракталы используются для анализа курса фондовых бирж, валютных и торговых рынков.

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов таких, как турбулентное течение жидкости, пламя, облака и т. п.



Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. Например, в текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

  • неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…»)

  • неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был весёлый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек»).


Одно из главных применений фракталов - это машинная графика. С помощью них можно создать (описать) поверхности очень сложной формы, а изменяя всего несколько коэффициентов в уравнении добиваться практически бесконечных вариантов исходного изображения. Фрактальная геометрия незаменима при генерации искусственных облаков, гор, поверхности моря. Фактически найден способ легкого представления сложных неевклидовых объектов, образы которых весьма похожи на природные.

Фракталы еще не исчерпали себя, фрактальные объекты находят все в новых областях науки. Фракталы не изучены до конца, им находят все новое применение, изменяющие наше отношение, как к самим фракталам, так и к Природе.

Цели моего реферата: раскрыть понятие фрактала, разобраться в принципе их построения, узнать об особенностях разных видов этих самоподобных объектов. Выяснить, можно ли моделировать рост и форму листьев деревьев с помощью фракталов.


Из поставленных целей вытекают следующие задачи:

  • ознакомиться с видами фракталов

  • ознакомиться с характером роста листьев

  • узнать, с помощью каких фракталов моделирование роста и формы листьев деревьев удается лучше всего

  • создание программы для моделирования листьев с помощью фракталов.