bigpo.ru
добавить свой файл
1
Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2003-2004 год, 9 класс)



  1. По стрельбе из мишени спортсмен выбивал только по 8,9 и 10 очков. Всего он, сделав более 11 выстрелов, выбил ровно 100 очков. Сколько выстрелов сделал спортсмен, и какие были попадания?




  1. Докажите истинность неравенства:




3. Решите уравнение:




  1. Найдите трехзначное число, которое уменьшается в 7 раз после зачеркивания в нем средней цифры.




  1. В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин А и В. Затем из вершины С проведены прямые, параллельные этим биссектрисам. Точки Д и Е пересечения этих прямых с биссектрисами соединены. Оказалось, что прямые ДЕ и АВ параллельны. Докажите, что треугольник АВС – равнобедренный.



Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2008-2009 год, 9 класс)


1. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 2008, не делятся ни на 2, ни на 3?


2.Можно ли шахматную доску размерами обойти ходом коня, побывав в каждом поле по одному разу?


3.При каких уравнение не имеет корней?


4.Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. 70 коров могут съесть её за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. Какое наибольшее число коров можно постоянно пасти на лугу, чтобы трава никогда не кончилась?


5.Существует ли треугольник, у которого две биссектрисы его внутренних углов перпендикулярны?


Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2003-2004 год, 10 класс).


  1. Решите систему уравнений:

  2. На сторонах АВ и АД параллелограмма АВСД взяты соответственно точки Е и К так, что отрезок ЕК параллелен диагонали ВД. Докажите, что площади треугольников ВСЕ и СДК равны.




  1. Постройте график функции




  1. Докажите, что - целое число.




  1. Группу туристов решили рассадить по автобусам так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое число пассажиров. Сначала в каждый автобус сажали по 22 человека, однако оказалось, что при этом не удается посадить одного туриста. Когда же один автобус уехал пустым, то в оставшиеся автобусы все туристы сели поровну. Сколько первоначально было автобусов и сколько туристов в группе, если известно, что в каждый автобус помещается не более 32 человек?



Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2004-2005 год, 10 класс).


1.Решите уравнение , где целая часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее .


2.Упростите выражение: .


3. Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС , . На стороне АВ выбрана точка Е, а на продолжении стороны АС за точку А выбрана точка К так, что . Докажите, что площади треугольников КЕС и АВС равны.


4.Решите уравнение , если известно, что два из его корней и удовлетворяют соотношению .


5.Сколько нужно взять первых чисел натурального ряда, чтобы их сумма была трёхзначным числом, записываемым одинаковыми цифрами?


Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2003-2004 год, 11 класс)


  1. Решите уравнение

  2. Решите систему уравнений:

  3. Докажите равенство:




  1. Докажите, что четыре расстояния от точки окружности до вершины вписанного в нее квадрата не могут одновременно быть рациональными числами.




  1. Дан правильный тетраэдр АВСД. На отрезке ДЕ, соединяющем вершину Д с точкой Е пересечения медиан основания АВС взята точка М так, что . Найти соотношение ЕМ : МД.



Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2004-2005 год, 11 класс)


1.Решите уравнение: .


2. Решите уравнения и , если известно, что они имеют один общий корень.


3.Найти сумму коэффициентов при нечётных степенях переменной в многочлене.


4.На сторонах AB и AD квадрата ABCD взяты точки M и K, а на отрезке MD- точка P так, что AM=AK, . Докажите, что угол –прямой.


5.Сколько нужно взять первых чисел натурального ряда, чтобы их сумма была трехзначным числом, записываемым одинаковыми цифрами?


Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2005-2006 год, 11 класс)

1. Числа b, d, p, q рациональны, но – иррациональны. Доказать, что если число, то оно иррационально.


2. Найти угол между скрещивающимися рёбрами правильного тетраэдра.


3. Многочлен (с действительными и ) таков, что уравнение имеет единственный корень. Сколько действительных корней может иметь уравнение?


4. Доказать, что в произвольном выпуклом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.


5. Вписать значение в мнемоническую таблицу синусов:





































Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2006-2007 год, 11 класс)

1. Вычислите значение суммы:


2. На сфере проведено 2006 произвольных окружностей, которые делят эту сферу на элементарные части сферы – открытые фигуры, граничные точки которых, и только они, лежат на проведённых окружностях. Доказать, что можно раскрасить сферу двумя красками так, чтобы каждая её элементарная часть была выкрашена в один цвет, но любые две элементарные части, имеющие протяженную границу (по дуге окружности) были разных цветов.


3. Арктическую пустыню можно пересечь за 6 дней, но один человек может взять с собой припасов только на 4 дня. Сколько человек должны отправиться через арктическую пустыню, чтобы хотя бы один из них благополучно пересек пустыню, а остальные благополучно вернулись назад?


4. Синусы трёх углов данного треугольника являются рациональными числами. Доказать, что тогда и косинусы этих углов являются рациональными числами.


5. Последовательно без запятых выписаны натуральные числа от1 до 2006 включительно: 1234567891011…..200420052006. Показать, что полученное число делится на 9.


Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2008-2009 год, 11 класс)


1.Решите систему уравнений:


2.Найти все целые , при которых многочлен раскладывается в произведение двух множителей с целымии .


3.Четырёхугольник , диагонали которого пересекаются в точке К, вписан в окружность. Окружность, проходящая через точки А,В и К, пересекает прямые ВС и АD в точках M и N соответственно. Доказать, что KM=KN.


4.Дана функция . Найти.


5.Квадрат со стороной 2 разбит вертикальными и горизонтальными прямыми на прямоугольники, раскрашенные в чёрный и белый цвета в шахматном порядке. Доказать, что если суммарные площади чёрных и белых прямоугольников равны, то из чёрных прямоугольников можно составить прямоугольник .


Задания для проведения районной (городской) олимпиады школьников по математике (2003-2004 год, 8 класс).


1.Решите уравнение х2+(1-х)2


2.Докажите, что нет целых чисел, которые от перестановки начальной цифры в конец, увеличиваются в 5 раз.


3.В некотором царстве каждые двое – либо друзья, либо враги. Каждый человек может в некоторый момент поссориться со всеми друзьями и помириться со всеми врагами. Оказалось, что каждые три человека могут таким образом стать друзьями. Докажите, что тогда и все люди в этом царстве могут стать друзьями.


4.Трехзначное число делится на 37. Докажите, что сумма чисел bca и cab также делится на 37.



5.В треугольнике одна из медиан перпендикулярна одной из биссектрис. Докажите, что одна из сторон этого треугольника вдвое больше другой.