bigpo.ru
добавить свой файл
1
ВОССТАНОВЛЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В ФОРМЕ КОШИ



Л. Г. Быстров


ОАО «КБ Электроприбор», г. Саратов


Постановка задачи. Дана матрица-столбец , элементами которой являются квазиполиномы. Требуется построить нормальную систему уравнений в форме Коши [1]: . Причем, построенная система должна удовлетворять условию . Задача является обратной по отношению к задаче решения системы дифференциальных уравнений.

Критерий разрешимости. Предположим, что поставленная задача решена. Характеристический полином матрицы имеет n корней. Все эти корни не могут быть совершенно произвольными, они обязаны принадлежать множеству корней от , где – прямое преобразование Лапласа. Отсюда следует вывод, что порядок заданного столбца должен быть не менее его размерности. Полагаем, что это условие является необходимым и достаточным для существования решения поставленной обратной задачи. Если требуемая система построена, то она может быть эквивалентно преобразована. Это означает, что решение поставленной задачи, если оно существует, является неединственным

Рассмотрим два числа. Первое число есть размерность заданного столбца квазиполиномов. Второе число есть интегральный порядок заданного числа квазиполиномов. Это число характеризует изображение по Лапласу исходной матрицы . Элементы есть отношения полиномов. Если все эти отношения привести к наименьшему общему знаменателю, то его порядок и есть число .

Можно показать, что если , то решение поставленной задачи существует и оно не единственно.

Методика решения задачи

1. Определяем размерность n матрицы .

2. Назначаем любую невырожденную квадратную матрицу n-го порядка. Матрица в частном случае может быть единичной.

3. Вычисляем обратную матрицу .

4. Вычисляем состояние искомой системы .


4. Вычисляем матрицу начальных условий непосредственной подстановкой .

5. Находим прямое преобразование , корни и приводим его к наименьшему общему знаменателю : , где – обобщенный минимальный полином (характеристический) заданного столбца квазиполиномов .

6. Вычисляем корни полинома .

7. Приступаем к построению вариантов матрицы . С этой целью:

7.1. По любым n корням из p корней полинома составляем полином , который назначим характеристическим полиномом матрицы . Число вариантов такого назначения равно числу сочетаний из p по n.

7.2. По назначенному полиному любым известным методом [2] строим матрицу . Опорными вариантами ее может быть любая из матриц, сопровождающих назначенный характеристический полином, жорданова матрица, блочно-диагональная матрица с сопровождающими диагональными субблоками, блочно-диагональная матрица с сопровождающими и жордановыми субблоками. Могут быть также использованы бинарно-перестановочные и транспонированный варианты от опорных матриц.

7.3. Вычисляем изображения по Лапласу свободного и вынужденного движений.

7.4. Строим изображение по Лапласу искомой правой части:

.

7.5. Находим .

Таким образом, найдены все четыре искомые матрицы.

Вычислительный эксперимент подтверждает, что решение системы с найденными матрицами дает требуемое равенство
Y(t) = K(t).


СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


  1. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 586 с.

  2. Быстров Л.Г., Сафронов В.В. Построение и ранжирование полного множества матриц, сопровождающих характеристический полином, в задачах моделирования, анализа и синтеза САУ // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. №5. С. 52–57.