bigpo.ru
добавить свой файл
1



Теорема Виета


Творческая работа ученика 8 класса

МОУ «Новокиевская ООШ»


Луканина Кирилла





Руководитель: Крыжановская В.И.




План

I Введение. Историческая справка.


II Основная часть

  1. Страницы из биографии Ф. Виета

  2. Научная деятельность:

а) теорема Виета

б) обратная теорема

  1. Примеры решения уравнений

  2. Практическая работа

  3. Некоторые особые случаи решения уравнений


III Заключение. Теорема Виета в стихах


IV Используемая литература


По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.


Историческая справка

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет.

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.

^ В 1951 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, а также его свойства.

Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.





^ Виет Франсуа
1540 год - 14 февраля 1603 год


Начало формы

Конец формы

Виет Франсуа родился в 1540 году в Фонтене-ле-Конт французской провинции Пуату — Шарант. Отец Виета был юристом (прокурором), а мать (Маргарита Дюпон) происходила из знатной семьи, что облегчило дальнейшую карьеру её сына.

Учился сначала в местном францисканском монастыре, а затем — в университете Пуатье, где получил степень бакалавра (1560). С 19 лет занимался адвокатской практикой в родном городе.

Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Преподавая частным образом астрономию дочери одной знатной клиентки, Виет пришел к мысли составить труд, посвященный усовершенствованию птолемеевской системы. Затем он приступил к разработке тригонометрии и приложению ее к решению алгебраических уравнений. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и отчасти благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти-Генриха IV.
Но главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики.
Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Так, например, у Кардано рассматривались 66 видов алгебраических уравнений. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Правда, у самого Виета алгебраические символы еще были мало похожи на наши. Например, кубическое уравнение Виет записывал так:
А cubus + В рlanum in A3 aequatur D solito
Здесь еще, как видим, много слов. Но ясно, что они уже играют роль наших символов. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. Особенно гордился Виет всем известной теперь теоремой о выражении коэффициентов уравнения через его корни, полученной им самостоятельно, хотя, как теперь стало известно, зависимость между коэффициентами и корнями уравнения (даже более общего вида, чем квадратного) была известна Кардано, а в таком виде, в каком мы пользуемся для квадратного уравнения,-древним вавилонянам. Из других открытий Виета следует отметить выражение для синусов и косинусов кратных дуг через sin x и cos x. Эти знания тригонометрии Виет с успехом применял как в алгебре при решении алгебраических уравнений, так и в геометрии, например, при решении с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи Аполлония Пергского о построении круга, касательного к трем данным кругам. Гордясь найденным решением, Виет называл себя Алоллонием Гальским (Галлией в старину называли Францию).
Нельзя сказать, что во Франции о Виете ничего не знали. Громкую славу он получил при Генрихе III, во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели очень сложную тайнопись (шифр), которая все время изменялась и дополнялась. Благодаря такому шифру воинствующая и сильная в то время Испания могла свободно переписываться с противниками французского короля даже внутри Франции, и эта переписка всё время оставалась неразгаданной. После бесплодных попыток найти ключ к шифру король обратился к Виету. Рассказывают, что Виет две недели подряд дни и ночи просидев за работой, все же нашел ключ к испанскому шифру. После этого неожиданно для испанцев Франция стала выигрывать одно сражение за другим. Испанцы долго недоумевали. Наконец им стало известно, что шифр для французов уже не секрет и что виновник его расшифровки - Виет. Будучи уверенными в невозможности разгадать их способ тайнописи людьми, они обвинили Францию перед папой римским и инквизицией в кознях дьявола, а Виет был обвинен в союзе с дьяволом и приговорен к сожжению на костре. К счастью для науки, он не был выдан инквизиции. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Подозревают, что он был убит.

В придворных новостях маркиз Летуаль писал «...14 февраля 1603 г. господин Виет, рекетмейстер, человек большого ума и рассуждения и один из самых ученых математиков века умер... в Париже, имея, по общему мнению, 20 тыс. экю в изголовье. Ему было более 60 лет».



Около 1570 года подготовил «Математический Канон» — труд по тригонометрии, — который издал в Париже в 1579 году.

В 1571 году переехал в Париж и вскоре перешёл на государственную службу, но увлечение его математикой продолжало расти.

По поручению Генриха IV Виет сумел расшифровать переписку испанских агентов во Франции, за что был даже обвинён испанским королём Филиппом II в использовании чёрной магии.

Только часть трудов этого талантливого и плодовитого учёного была издана при жизни Виета. Главное его сочинение: «^ Введение в аналитическое искусство» (1591), которое он рассматривал как начало всеобъемлющего трактата, но продолжить не успел. Есть некоторые указания, что учёный умер насильственной смертью.

Непосредственно применение трудов Виета очень затруднялось тяжелым и громоздким изложением. Из-за этого они полностью не изданы до сих пор. Более или менее полное собрание трудов Вирта было издано в 1646 году в Лейдене нидерландским математиком ван Скоотеном под названием «Математические сочинения Виета». Г. Г. Цейтен отмечал, что чтение работ Виета затрудняется несколько изысканной формой, в которой повсюду сквозит его большая эрудиция, и большим количеством изобретенных им и совершенно не привившихся греческих терминов. Потому влияние его, столь значительное по отношению ко всей последующей математике, распространялось сравнительно медленно».


^ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОСТИЖЕНИЯ
Работы по математике писал чрезвычайно трудным языком, поэтому они не получили распространения. Труды Виета были собраны после его смерти профессором математики в Лейдене Ф. Шоотеном. В трудах Виета алгебра становится общей наукой об алгебраических уравнениях, основанной на символических обозначениях. Виет первый обозначил буквами не только неизвестные, но и данные величины, т. е. коэффициенты соответствующих уравнений. Благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами, и сами алгебраические выражения превратились в объекты, над которыми можно производить действия. Виет разработал единообразный прием решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степени и новый метод решения кубического уравнения, дал тригонометрическое решение уравнения 3-й степени в неприводимом случае, предложил различные рациональные преобразования корней, установил зависимость между корнями и коэффициентами уравнений (формулы Виета). Для приближенного решения уравнений с числовыми коэффициентами Виет предложил метод, сходный с методом, позднее разработанным И. Ньютоном. Достижения Виета в тригонометрии - полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольников по трем данным элементам, важные разложения sin пх и cos пх по степеням cos х и sinx. Знание формулы синусов и косинусов кратных дуг дало возможность Виету решить уравнение 45-й степени, предложенное математиком А. Рооменом; Виет показал, что решение этого уравнения сводится к разделению угла на 45 равных частей и что существуют 23 положительных корня этого уравнения. Виет решил задачу Аполлония с помощью линейки и циркуля.
^

Научная деятельность


Виет чётко представлял себе конечную цель — разработку нового языка, своего рода обобщённой арифметики, которая даст возможность проводить математические исследования с недостижимыми ранее глубиной и общностью:

Все математики знали, что под их алгеброй… были скрыты несравненные сокровища, но не умели их найти; задачи, которые они считали наиболее трудными, совершенно легко решаются десятками с помощью нашего искусства, представляющего поэтому самый верный путь для математических изысканий.

Виет всюду делит изложение на две части: общие законы и их конкретно-числовые реализации. То есть он сначала решает задачи в общем виде, и только потом приводит числовые примеры. В общей части он обозначает буквами не только неизвестные, что уже встречалось ранее, но и все прочие параметры, для которых он придумал термин «коэффициенты» (буквально: содействующие). Виет использовал для этого только заглавные буквы — гласные для неизвестных, согласные для коэффициентов.

Виет свободно применяет разнообразные алгебраические преобразование — например, замену переменных или смену знака выражения при переносе его в другую часть уравнения. Это стоит отметить, принимая во внимание тогдашнее подозрительное отношение к отрицательным числам. Показатели степени у Виета ещё записываются словесно.

Другие заслуги Виета:



  • полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней;

  • идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений;

  • оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами.

Новая система позволила просто, ясно и компактно описать общие законы арифметики и алгоритмы. Символика Виета была сразу же оценена учёными разных стран, которые приступили к её совершенствованию. Английский учёный Томас Хэрриот в своём посмертно изданном (1631) труде уже очень близок к современной символике: вместо заглавных букв применяет строчные, степени записывает не словесно, а мультипликативно (aaa вместо a3), использует знак равенства (предложенный в 1557 году Робертом Рекордом), а также придуманные самим Хэрриотом символы сравнения «>» и «<». Практически окончательный вид алгебраической символике придал Декарт.
^

Формулы Виета


Формулы Виета — формулы, выражающие коэффициенты многочлена через его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным его корням.

Формулировка


Если  — корни многочлена



(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты выражаются в виде симметрических многочленов от корней, а именно:



Иначе говоря ( − 1)kak равно сумме всех возможных произведений из k корней.

Если старший коэффициент многочлена , то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на a0 (это не влияет на значение корней многочлена). В этом случае формула Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему. Из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленен.

Доказательство


Доказательство осуществляется рассмотрением равенства



где правая часть представляет собой многочлен, разложенный на множители.

После перемножения элементов правой части, коэффициенты при одинаковых степенях x должны быть равными в обеих частях, из чего следуют формулы Виета.

Примеры

^

Квадратное уравнение


Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Или

Если

x1 и x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 , то

и .

В частном случае, если a = 1 (приведенная форма x2 + px + q = 0), то

x1 + x2 = − p и x1x2 = q.
^

Кубическое уравнение


Если

x1,x2,x3 - корни Кубического уравнения p(X) = ax3 + bx2 + cx + d = 0, то




Из истории

Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н.э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних рукописях и трактатах


Теорема Виета
^

Приведённое квадратное уравнение


Квадратное уравнение вида x2 + px + q = 0, в котором старший коэффициент a равен единице, называют приведённым. В этом случае формула для корней (1) упрощается до



Теорема Виета

Сумма корней приведённого квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:



В общем случае (для неприведённого квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0):




Практическая работа по алгебре в 8 классе.

Тема: “Теорема Виета”

Цель: установить связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

^ Объект исследования: квадратное уравнение и его корни.

Знания, умения и навыки, необходимые для выполнения работы:

(т.е. то, что нужно вспомнить и повторить, прежде чем предлагать учащимся данную работу):

  • понятие полного квадратного уравнения;

  • умение записать квадратный трехчлен в общем виде;

  • алгоритм решения квадратного уравнения ( как полного, так и приведенного);

  • умение записать общую формулу корней квадратного уравнения ( полного и приведенного).

Ход работы ( инструкция для ученика).

Приведенные квадратные уравнения.

1.1. Решите уравнения:

а) х2 + 4х + 3 = 0;

б) х2 – 10х – 24 = 0.

1.2. Заполните таблицу:

Уравнение

р

q

х1

х2

х1 + х2

х1 · х2

х2 + 4х + 3 = 0;

 

 

 

 

 

 

х2 -10х – 24 = 0.

 

 

 

 

 

 

1.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами.

1.4. Гипотеза: какую связь между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.

1.5. Проверка гипотезы: запишите приведенное квадратное уравнение в общем виде ( х2 + рх + q = 0 ).

1.6. Запишите общую формулу корней приведенного квадратного уравнения.

( Х1 = ; X 2 = )

1.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.

1.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.

1.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь.

Дополнительный вопрос.

Проверь свои выводы, решив уравнение: х2 – 12х + 36 = 0.

2. Полные квадратные уравнения.

2.1. Решите уравнения:

а) 6 х2 – 5х – 1 = 0;

б) 5 х2 + 9х + 4 = 0.

2.1. Заполните таблицу:

Уравнение

а

в

с

х1

х2

х1 + х2

х1 · х2

2 -5х – 1 = 0;

 

 

 

 

 

 

 

2 + 9х + 4 = 0.

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Сравните сумму и произведение корней каждого из уравнений с его коэффициентами.

2.4. Гипотеза: какую связь между корнями полного квадратного уравнения и его коэффициентами Вы заметили? Запишите ее символами.

2.5. Проверка гипотезы: запишите полное квадратное уравнение в общем виде

(ах2 + bх + с = 0).

2.6. Запишите общую формулу корней полного квадратного уравнения.

( Х1 =; X 2 = )

2.7. Найдите сумму корней квадратного уравнения.

2.8. Найдите произведение корней квадратного уравнения.

2.9. Сделайте вывод: сформулируйте полученный результат. Запишите в тетрадь.

(Полученное утверждение называется теоремой Виета)

Дополнительный вопрос.

Проверь свои выводы, решив уравнение: -2х2 + 8х + 3 = 0.

^ Дополнительное задание.

Найдите сумму и произведение корней следующих квадратных уравнений:

а) х2 – 5х + 6 = 0;

б) 3х2 – 4х – 2 = 0;

в) х2 – 6х + 24 = 0;

г) 6х2 – 5х = 0.

2. Проверьте с помощью теоремы Виета: верно ли найдены корни квадратного уравнения.

А) х2 – 15х – 16 = 0

х1 = - 1; х2 = 16.

Б) 2х2 – 3х + 1 = 0

х1 = 1/2; х2 = 1.

^ 3. Сформулируйте теорему, обратную теореме Виета.

Найдите с помощью теоремы, обратной теореме Виета корни квадратного уравнения:

а) х2 + 11х – 12 = 0; б) 2 х2 + 9х + 8 = 0; в) -3х2 – 6х = 0; г) х2 – 6 = 0.

Особые случаи решения квадратных уравнений

ax2 +bx + c = 0

1. если a+b+c =0, то х1= 1, х2=

2. если a-b+c =0, (или а+с=b), то х1= -1, х2= -

Например: 3х2 + 5х – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 х1 = 1 х2 =

2 + 2х + 3 = 0 -1 +3 = 2 х1 = -1 х2 = = 3

Реши устно:

2 – 2х – 1 = 0 3х2 – 5х – 8 = 0

х2 – 3х + 2 = 0 4х2 + 7х + 3 = 0

2002х2 – 2003х + 1 = 0




Из «Радионяни»

«Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.

Ну, а под корнем, приятель,
сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q.

p, со знаком взяв обратным,
на два мы его разделим,
и от корня аккуратно
знаком «минус-плюс» отделим.

А под корнем очень кстати
половина p в квадрате
минус q — и вот решенья,
то есть корни уравненья.


По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи постоянства такого:

Умножишь ты корни - и дробь уж готова:

В числителе с, в знаменателе а,

А сумма корней тоже дроби равна

Хоть с минусом дробь эта, что за беда

В числителе в, в знаменателе а.



Используемая литература:


    1. Энциклопедический словарь юного математика.

М. «Педагогика» 1989

    1. Математика. Справочные материалы. В.А.Гусев, А.Г.Мордкович. М. «Просвещение» 1986

    2. История математики в школе. Г.И.Глейзер

М. «Просвещение» 1982.

    1. Алгебра 8кл. под редакцией С.А.Теляковского

М. «Просвещение» 1997.

5. http://fectival.1september.ru