bigpo.ru
добавить свой файл
1
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ

С ДВИЖУЮЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ В СИСТЕМАХ

С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ



Р.А.Теймуров


Сумгаитский филиал Азербайджанского Института Учителей, Баку, Азербайджан

rafiqt@mail.ru


Несмотря на прикладную важность задач с управлениями подвижных источников, они в настоящее время наиболее мало изучены [1-2,5]. Для некоторых классов линейных и нелинейных краевых задач, в которых участвует импульсные функции, исследованы вопросы существования и единственности обобщенного решения. В частности, в [1] эти вопросы исследованы при условии, что управлением является только интенсивности неподвижных источников.

В настоящей работе исследуется задача оптимального управления процессами, описываемыми совокупностью уравнением параболического типа и обыкновенным дифференциальным уравнением с управлениями подвижных источников. Для рассмотренной ниже задачи оптимального управления доказана теорема существования и единственности решения, получены необходимые условия оптимальности в виде точечного и интегрального принципов максимума, найдены достаточные условия дифференцируемости по Фреше критерия качества и выражение для его градиента.


1. Постановка задачи.

Пусть состояние управляемого обьекта описывается функциями и , причем внутри области удовлетворяет уравнению параболического типа

(1)

с начальным и граничными условиями

(2)

(3)

где заданные числа; -заданная функция; - функция Дирака; - управляющая функция. А функция (гильбертово пространство[1]) предполагается решением следующей задачи Коши:

(4)

где -заданное вещественное число; - управляющая функция; функция является непрерывным, имеет непрерывные производные по и при и они ограничены: .

Для краткости обозначим -гильбертово пространство пар со скалярным произведением



и с нормой .

Требуется найти такие управления из множества



, (5)

чтобы функционал

(6)



принимал наименьшее возможное значение при ограничениях (1)-(4). Здесь заданные числа; , , - заданные функции.


^ 2. Корректность постановки задачи.

Определение. Задачу о нахождении функции из условий (1)-(4) при заданном управлении назовем редуцированной задачей. Под решением редуцированной задачи (1)-(4), соответствующей управлению , понимается функция из , где функция удовлетворяет интегральному тождеству

(7)

для и а функция удовлетворяет интегральному уравнению

(8)

Из результатов работ [3-4] следует, что при каждом фиксированном редуцированная задача (1)-(4) имеет единственное решение из . Пусть выполнены условия, принятые при постановке задачи (1)-(6). Тогда задача (1)-(6) имеет хотя бы одно решение. Следует отметить, что задача (1)-(6) при некорректна в классическом смысле[5]. Однако имеет место

Теорема 1. Существует плотное подмножество пространства такое, что для любого при , задача (1)-(6) имеет единственное решение.


^ 3. Необходимое условия оптимальности.

Пусть - решение из сопряженной задачи

(9)

(10)

(11)

и решение из сопряженной задачи

, (12)

Функция удовлетворяет интегральному тождеству

(13)

для и а функция удовлетворяет интегральному уравнению

(14)

Сопряженная задача (9)-(12) является смешанной задачей для линейного параболического уравнения. Если в соотношениях (9)-(12) вместо переменной взять новую независимую переменную , то получим краевую задачу того же типа, что (1)-(4). Поэтому из фактов, установленных для задачи (1)-(4), следует, что для каждого заданного задача (9)-(12) имеет единственное решение из .

Функцию

(15)

+,
^

назовем функцией Гамильтона-Понтрягина задачи (1)-(6).


Теорема 2. Пусть функция непрерывна по совокупности своих аргументов вместе со своим частными производными по переменным при и, кроме того, выполнены следующие условия:

,





при всех , где .

Тогда функционал (1) дифференцируем по Фреше и для его градиента справедливо выражение

(16)


где



Теорема 3 . Пусть выполнены все условия теоремы 2 и соответственно решения задачи (1)-(2) и (9)-(12) при . Тогда для оптимальности управления необходимо выполнение условия



Литература




  1. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.:Мир, 1972.

  2. А.Г.Бутковский, Л.М.Пустыльников. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. М.:Наука, 1980.

  3. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики.М.:Наука, 1973.

  4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач.-М.Наука,1988.

  5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Mетоды решения некорректных задач.-М.Наука,1974.

  6. Р.Теймуров. О существовании и единственности решения задачи оптимального управления подвижными источниками. // Proceedings of Institute of Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Azerbaijan, 2009, vol. XXXI(XXXIX), pp.219-224.