bigpo.ru
добавить свой файл
1 2
Реферат на тему

«Геометрические преобразования»

ученика 11 класса “Б” школы №192

Печёнкина Николая


Руководитель:

Гладкова Елена Борисовна


Москва, 2006 г.

Введение.


Геометрические преобразования являются достаточно поздним разделом математики. Первые геометрические преобразования стали рассматриваться в XVII веке, а проективные преобразования появились лишь в начале XIX века.

В алгебре рассматриваются различные функции. Функция f каждому числу х из области определения функции ставит в соответствие некоторое число f(x) – значение функции f в точке х. В геометрии рассматриваются функции, у которых другие области определения и множества значений. Они каждой точке ставят в соответствие точку. Эти функции называются геометрическими преобразованиями.

Геометрические преобразования имеют большое значение в геометрии. С помощью геометрических преобразований определяются такие важные геометрические понятия, как равенство и подобие фигур. Благодаря геометрическим преобразованиям, многие разрозненные факты геометрии укладываются в стройную теорию.

В реферате, в основном, речь пойдёт о преобразованиях пространства. Будут рассмотрены все движения, подобия, круговые и аффинные преобразования пространства, а также аффинные и проективные преобразования плоскости. Для каждого преобразования будут рассмотрены его свойства и примеры применения к решению геометрических задач.

Для начала обратимся к некоторым основным понятиям, которые будут необходимы нам для работы с преобразованиями. Остановимся на двух терминах: расстояние и преобразование. Итак, что мы будем понимать под этими словами:


Определение. Расстоянием между двумя точками будем называть длину отрезка с концами в этих точках.


Определение. Преобразованием множества будем называть взаимно однозначное отображение этого множества на себя.


Теперь перейдём к рассмотрению отдельных видов геометрических преобразований.


Часть I. Движения пространства.


1. Общие свойства движений.


Определение. Преобразование пространства называется движением, если оно сохраняет расстояния между точками.


Свойства движений.

  1. Преобразование, обратное к движению, – движение.

  2. Композиция движений – движение.

  3. При движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок, плоскость – в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.

  4. Образом плоского угла при движении является плоский угол той же величины.

  5. Движение сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями.

  6. Движение сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.


Доказательства свойств.

1 и 2. Следуют из определения движения.

  1. Пусть точки А, Х и В лежат на одной прямой, причём точка Х лежит между А и В. Тогда АХ+ХВ=АВ. Пусть точки А´, Х´, В´ – образы точек А, Х, В при движении. Тогда А´Х´+Х´В´=А´В´ (из определения движения). А отсюда следует, что точки A´, X´, B´ лежат на одной прямой, причём Х´ лежит между А´ и В´.
    Из доказанного утверждения сразу следует, что при движении прямая переходит в прямую, луч – в луч, отрезок – в отрезок.

Для плоскости доказательство можно провести так. Пусть a, b – две пересекающиеся прямые нашей плоскости α, a´, b´ – их образы. Очевидно, a´ и b´ пересекаются. Пусть α´ – плоскость, содержащая прямые a´, b´. Докажем, что α´ – образ плоскости α. Пусть М – произвольная точка плоскости α, не лежащая на прямых a и b. Проведём через M прямую c, пересекающую прямые a и b в различных точках. Образом этой прямой является прямая с´, пересекающая прямые a´, b´ в различных точках. Значит, и М´, образ точки М, лежит в плоскости α´. Итак, образ любой точки плоскости α лежит в плоскости α´. Аналогично доказывается, что прообраз любой точки плоскости α´ лежит в плоскости α. Отсюда α´ – образ плоскости α.

Теперь уже несложно доказать утверждение и для полуплоскости. Надо лишь дополнить полуплоскость до плоскости, рассмотреть прямую а, ограничивающую полуплоскость, и её образ а´, а затем доказать от противного, что образы любых двух точек полуплоскости лежат по одну сторону от а´.

  1. Следует из свойства 3.

  2. Следует из свойства 4 и определения угла между прямыми (прямой и плоскостью, двумя плоскостями) в пространстве.

  3. Предположим противное, т.е. пусть образы наших параллельных прямых (прямой и плоскости, плоскостей) пересекаются (в случае параллельных прямых ещё надо показать, что их образы не могут быть скрещивающимися прямыми, но это сразу следует из того, что плоскость, содержащая эти прямые, перейдёт в плоскость). Тогда рассмотрим их общую точку. У неё будет два прообраза, что невозможно по определению преобразования.


Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф´, если существует движение, переводящее Ф в Ф´.


^ 2. Множество неподвижных точек движений.


Определение. Неподвижной точкой (прямой, плоскостью) преобразования называется такая точка (прямая, плоскость) пространства, которая при этом преобразовании переходит в себя.


Теорема 2.1. Если при движении неподвижны две точки А и В, то неподвижны все точки прямой АВ.


Доказательство. Пусть Х произвольная точка прямой АВ, отличная от А и В. Если X→Х´ и Х≠X´, то Х´ лежит на АВ и из определения движения следует, что А – середина ХХ´ и В – середина ХХ´, чего не может быть. Значит, Х переходит при этом движении в себя. Отсюда, все точки прямой АВ неподвижны.


Теорема 2.2. Если при движении неподвижны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, то неподвижны все точки плоскости (АВС).


Доказательство. По теореме 2.1. неподвижны все точки прямых АВ, АС и ВС. Теперь, пусть Х – произвольная точка плоскости (АВС), не принадлежащая прямым АВ, АС и ВС. Пусть М – произвольная точка внутри ∆АВС (например, точка пересечения медиан). Прямая МХ пересекает стороны нашего треугольника в некоторых точках K и N, которые являются неподвижными. Тогда по теореме 2.1. неподвижны все точки прямой KN, в том числе и точка Х. Отсюда, все точки плоскости (АВС) являются неподвижными.


Теорема 2.3. Если при движении неподвижны четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то неподвижны все точки пространства.


Доказательство. Теорема выводится из теоремы 2.2. так же, как и теорема 2.2. выводится из теоремы 2.1.


Следствие. Множеством неподвижных точек движения пространства является либо пустое множество, либо точка, либо прямая, либо плоскость, либо всё пространство.


^ 3. Виды движений.


3.1. Тождественное преобразование.



Определение. Тождественным преобразованием Е пространства называется преобразование, при котором каждая точка пространства переходит в себя.


Очевидно, тождественное преобразование является движением.


^ 3.2. Параллельный перенос.


Определение. Пусть в пространстве задан вектор . Параллельным переносом пространства на вектор называется преобразование, при котором каждая точка М отображается в такую точку М´, что .


Теорема 3.2. Параллельный перенос – движение.


Доказательство. Пусть А´, В´ – образы точек А, В при параллельном переносе на вектор . Достаточно показать, что АВ=А´В´, что следует из равенства:

.


Свойство переноса. Параллельный перенос переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).


Доказательство. При доказательстве теоремы 3.2, мы доказали, что при параллельном переносе сохраняются вектора. Значит, сохраняются направляющие вектора прямых и векторы нормали плоскостей. Отсюда и следует наше утверждение.


^ 3.3 Поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой.


Определение. Поворотом пространства около оси ℓ на заданный угол φ называется такое преобразование пространства, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой ℓ, проводится поворот на угол φ вокруг точки её пересечения с прямой ℓ.


Теорема 3.3.1. Поворот вокруг оси – движение.


Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки пространства, А´, В´ – их образы при повороте вокруг оси. Нам достаточно показать, что АВ=А´В´. Проведём через точки А и В соответственно плоскости α и β, перпендикулярные прямой ℓ. Если α и β совпадают, то равенство АВ=А´В´ следует из аналогичной плоской теоремы. Если нет, то опустим перпендикуляр АС из точки А на плоскость β (. Пусть С´ – образ точки С при нашем повороте. По определению поворота точка А´ лежит в плоскости α, точки В´, С´ – лежат в плоскости β; СВ=С´В´ по аналогичной теореме на плоскости. Кроме того, как легко проверить, АСС´А´ – прямоугольник. Отсюда, имеем равные прямоугольные треугольники АСВ и А´С´В´ (в случае, если В совпадает с С, нам хватит и того, что АСС´А´ – прямоугольник). Значит, равны и их гипотенузы АВ=А´В´.


Определение. Симметрией пространства относительно прямой ℓ (осевой симметрией) называется преобразование, которое каждую точку прямой ℓ отображает в себя, а любую другую точку М пространства отображает на такую точку М´, что прямая ℓ является серединным перпендикуляром к отрезку ММ´. Прямая ℓ называется осью симметрии.


Очевидно, осевая симметрия является частным случаем поворота вокруг оси (вокруг той же прямой на угол 2πk+π, ). Из этого в частности следует, что осевая симметрия – движение.


^ 3.4. Центральная симметрия.


Определение. Симметрией относительно точки О (центральной симметрией) пространства называется преобразование пространства, которое точку О отображает на себя, а любую другую точку М отображает на такую точку М´, что точка О является серединой отрезка ММ´. Точка О называется центром симметрии.


Теорема 3.4. Центральная симметрия – движение.


Доказательство.

Пусть А, В – две произвольные точки, А´, В´ – их образы, О – центр симметрии. Тогда .


Свойство центральной симметрии. Центральная симметрия переводит прямую (плоскость) в себя или в параллельную ей прямую (плоскость).


Доказательство. При доказательстве теоремы 3.4, мы доказали, что при параллельном переносе вектора меняются на противоположные. Значит, у направляющих векторов прямых и векторов нормали плоскостей при центральной симметрии лишь меняются направления. Отсюда и следует наше утверждение.


^ 3.5. Симметрия относительно плоскости.


Определение. Пусть в пространстве задана плоскость α. Преобразование пространства, при котором каждая точка плоскости α переходит в себя, а произвольная точка – в такую точку М´, что плоскость α перпендикулярна ММ´ и делит его пополам, называется (зеркальной) симметрией относительно плоскости α. Плоскость α называется плоскостью симметрии.


Теорема 3.5.1. Зеркальная симметрия – движение.


Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки пространства, А´, В´ – их образы при зеркальной симметрии относительно плоскости α. Достаточно показать, что АВ=А´В´. Рассмотрим плоскость β, перпендикулярную плоскости α и проходящую через точки А, В. Пусть . Тогда А´, В´ – образы точек А, В при симметрии относительно прямой ℓ плоскости β. Значит, АВ=А´В´.


^ Свойство зеркальной симметрии. При зеркальной симметрии образ прямой (плоскости), не лежащей в плоскости симметрии, параллелен прообразу или пересекается с ним на плоскости симметрии.


Доказательство. Будем пользоваться тем, что точки плоскости симметрии неподвижны. Если наша прямая (плоскость) пересекает плоскость симметрии в некоторой точке (по некоторой прямой), то и её образ будет проходить через эту точку (прямую). Значит, образ с прообразом пересекаются в этой точке (по этой прямой).

Осталось доказать, что если прямая (плоскость) параллельна плоскости симметрии, то её образ будет параллелен прообразу. Вначале докажем для прямой. Рассмотрим плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии и содержащую нашу прямую. Образ нашей прямой лежит в этой плоскости. Значит, образ с прообразом параллельны или пересекаются. Второе невозможно, т.к. образ и прообраз лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии. Доказательство для плоскости ещё проще. Достаточно заметить, что образ и прообраз нашей плоскости лежат в разных полупространствах относительно плоскости симметрии и не могут пересекаться.


^ 3.6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.


Определение. Переносной симметрией называется композиция зеркальной симметрии и параллельного переноса , где :




Определение. Поворотной симметрией называется композиция зеркальной симметрии и поворота вокруг оси , где .


Определение. Винтовым движением называется композиция поворота вокруг оси и параллельного переноса , где .


Легко заметить, что во всех трёх определениях, композиция не зависит от порядка выполнения движений.


Из свойства 2 движений следует

Теорема 3.6: Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение – движения.


^ 4. Неподвижные точки различных видов движений пространства.


Найдём множества неподвижных точек различных видов движений:

  1. Тождественное преобразование. Множеством неподвижных точек тождественного преобразования является всё пространство.

  2. Параллельный перенос. Если , то - тождественное преобразование и неподвижными будут все точки пространства. Если , то у нет неподвижных точек.

  3. ^ Поворот вокруг оси, осевая симметрия. Если угол поворота равен 2πk (), то он является тождественным преобразованием. Тогда неподвижны все точки. Если угол поворота не равен 2πk () (в частности, если он является осевой симметрией), то множеством неподвижных точек является ось симметрии.

  4. Центральная симметрия. Неподвижной точкой является только центр симметрии.

  5. Зеркальная симметрия. Неподвижными точками являются точки плоскости симметрии.

  6. Переносная симметрия, поворотная симметрия, винтовое движение.

    • У переносной симметрии неподвижных точек нет

    • У винтового движения неподвижных точек нет.

    • У поворотной симметрии единственная неподвижная точка .


Наглядно вывод можно представить в виде следующей таблицы (для всех преобразований мы не берём в расчёт их частный случай, когда они являются тождественными):



Впоследствии мы докажем, что движения пространства ограничиваются перечисленными в таблице. Поэтому наша таблица полная.

Теперь докажем несколько теорем, которые нам понадобятся в дальнейшем.


Теорема 4.1. (признак поворота) Если множеством неподвижных точек движения является прямая ℓ, то это движение – поворот около прямой ℓ.


Доказательство. Из аналогичной теоремы на плоскости следует, что в каждой плоскости, перпендикулярной ℓ, происходит поворот. Все эти повороты происходят на один и тот же угол, т.к. каждая плоскость, содержащая ℓ, как легко показать, при нашем движении переходит в плоскость, также содержащую ℓ. Значит, наше движение – поворот около ℓ.


Теорема 4.2. (признак зеркальной симметрии) Если множеством неподвижных точек движения является плоскость α, то это движение – симметрия относительно плоскости α.


Доказательство. Пусть α – плоскость неподвижных точек, Х – произвольная точка пространства, не лежащая в α. Опустим перпендикуляр ℓ из Х на α. Прямая ℓ при нашем движении переходит в себя, так как она остаётся перпендикулярной плоскости α и проходит через ту же точку (назовём её О) плоскости α (потому что эта точка неподвижна). Тогда Х´, образ точки Х при нашем движении, лежит на прямой ℓ. При этом ОХ´=ОХ, т.е. Х´ симметрична Х относительно плоскости α. Таким образом, наше движение – симметрия относительно плоскости α.


^ 5. Теорема о задании движения.


Теорема 5.1. (теорема о задании движения) Если даны два тетраэдра ABCD и A´B´C´D´ с соответственно равными рёбрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A´, B´, C´, D´.


Доказательство.

I. Существование. Если А совпадает с А´, В – с B´, С – с C´, D – с D´, то задано просто тождественное преобразование. Если нет, то положим для определённости, что А не совпадает с А´. Рассмотрим плоскость α симметрии точек А и А´. Пусть симметрия Sα переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B1C1D1.

Теперь, если В1 совпала с В´, С1 – с С´, D1 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки В´ и В1 не совпали. Рассмотрим плоскость β симметрии точек B1 и B´. Точка A´ – равноудалена от точек В1 и В´, следовательно лежит на плоскости β. Пусть симметрия Sβ переводит тетраэдр A´B1C1D1 в тетраэдр A´B´C2D2.

Теперь, если С2 совпала с С´, а D2 – с D´, то доказательство завершено. Если нет, то можно без ограничения общности считать, что точки С´ и С2 не совпали. Рассмотрим плоскость γ симметрии точек С2 и С´. Точки А´, В´ равноудалены от точек С2 и С´, поэтому лежат в плоскости γ. Пусть симметрия Sγ переводит тетраэдр A´B´C2D2 в тетраэдр A´B´C´D3.

Теперь, если D3 совпала с D´, то доказательство завершено. Если нет, то рассмотрим плоскость δ симметрии точек D3 и D´. Точки А´, В´, С´ равноудалены от точек D3 и D´, поэтому лежат в плоскости δ. Значит, симметрия Sδ переводит тетраэдр A´B´C´D3 в тетраэдр A´B´C´D´.

Итак, композиция нужного числа приведённых зеркальных симметрий переводит тетраэдр ABCD в тетраэдр A´B´C´D´. А это преобразование является движением (свойство 2 движений).

II. Единственность. Пусть существуют 2 движения f и g, переводящие А в А´, В в В´, С в С´, D в D´. Тогда движение является тождественным преобразованием, т.к. оставляет точки А, B, C, D неподвижными. Значит, f=g.


При доказательстве теоремы 5.1 (существование), фактически была доказана и

Теорема 5.2. Любое движение пространства есть композиция не более четырёх зеркальных симметрий.


^ 6. Движения первого и второго рода.


Определение. Пусть (, , ) – упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Будем смотреть на трёхгранный угол ОАВС из того полупространства относительно плоскости (АВС), которое не содержит точку О. Теперь, если переход от точки А к точке В, а затем, от В к С совершается против часовой стрелки, то тройка (, , ) называется положительно ориентированной (правой). В противном случае тройка (, , ) называется отрицательно ориентированной (левой).


Теорема 6.1. Зеркальная симметрия меняет ориентацию любой упорядоченной тройки некомпланарных векторов.


Доказательство. В этом можно убедиться непосредственной проверкой.


Определение. Если для упорядоченной тройки некомпланарных векторов движение сохраняет (меняет) её ориентацию, то такое движение называется движением первого (второго) рода.


Теорема 6.2. (корректность определения) Если при движении некоторая упорядоченная тройка некомпланарных векторов сохраняет (меняет) ориентацию, то любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов при этом движении сохраняет (меняет) ориентацию.


Доказательство. Представим наше движение в виде композиции зеркальных симметрий (по теореме 5.2 это можно сделать). Пусть наше движение – композиция k зеркальных симметрий, . Тогда, выполняя симметрии поочерёдно, по теореме 6.1 получим, что наше движение меняет ориентацию тройки векторов k раз. Таким образом, движение меняет ориентацию тройки векторов, если k нечётно, и сохраняет, если k чётно. Итак, мы попутно получили, что при нечётном k наше движение II рода, при чётном – I рода, что фактически и доказывает теоремы 6.3 и 6.4:


Теорема 6.3. Любое движение I рода есть композиция двух или четырёх зеркальных симметрий.


Теорема 6.4. Любое движение II рода есть зеркальная симметрия или композиция трёх зеркальных симметрий.


Теорема 6.5. (теорема Даламбера) Движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, представимо композицией двух зеркальных симметрий.


Доказательство. Вспомним доказательство теоремы 5.1 (существование). Пусть одна из точек А, В, С, D и есть неподвижная точка пространства. Тогда наше движение представится композицией не более трёх зеркальных симметрий. Но наше движение I рода. Значит, по теореме 6.3 оно является композицией двух зеркальных симметрий.


^ 7. Классификация движений пространства.


Пользуясь доказанными теоремами, можно классифицировать все движения пространства.


Мы хотим доказать общую теорему:


Теорема 7.0. Любое движение пространства есть параллельный перенос, винтовое движение, поворот вокруг оси, зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.


Для этого удобно разбить все движения по классам. И для каждого класса определить все движения, входящие в этот класс. Для начала разобьём все движения на движения I и II рода и докажем две теоремы, из которых сразу следует теорема 7.0:


Теорема 7.1. Любое движение I рода есть параллельный перенос, винтовое движение или поворот вокруг оси.


Теорема 7.2. Любое движение II рода – это зеркальная симметрия, поворотная симметрия или переносная симметрия.


Для доказательства этих теорем удобно разбить движения на классы по количеству неподвижных точек. Теперь мы получим четыре теоремы, каждая из которых в отдельности доказывается несложно:


Теорема 7.1.а. Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси.


Теорема 7.1.б. Любое движение I рода, не имеющее неподвижных точек, есть параллельный перенос или винтовое движение.


Теорема 7.2.а. Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или поворотной симметрией.


Теорема 7.2.б. Любое движение II рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия.


Эти теоремы фактически доказывают теоремы 7.1 и 7.2.

Будем доказывать их не по порядку, т.к. при доказательстве некоторых теорем удобно использовать другие.


Пусть f – данное движение.


Доказательство теоремы 7.1.а. Утверждение – простое следствие теоремы 6.5 (теоремы Даламбера), согласно которой f можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Если плоскости симметрии параллельны, то f – параллельный перенос, что невозможно, т.к. у параллельного переноса нет неподвижных точек. Значит, плоскости симметрии пересекаются по некоторой прямой ℓ. Тогда, как легко показать, f – поворот вокруг оси ℓ на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрии.


Доказательство теоремы 7.2.а. Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий (теорема 6.4). В первом случае и доказывать нечего. Во втором случае рассмотрим неподвижную точку О нашего преобразования f . Теперь рассмотрим движение . У движения g точка О неподвижная. С другой стороны, g – движение I рода (т.к. меняет ориентацию). Отсюда (теорема 7.1.а) g – поворот вокруг оси, содержащей точку О. Но , т.е. f – поворотная симметрия.


Доказательство теоремы 7.2.б. Пусть А´ – образ некоторой точки А при движении f, α – плоскость симметрии точек А и А´. Тогда движение первого рода имеет неподвижную точку А´. По теореме 7.1.а движение g – поворот вокруг оси. Пусть . Тогда , откуда , причём ℓ||α, иначе общая точка ℓ и α будет неподвижной точкой движения f. Как мы уже говорили, композицией двух зеркальных симметрий (если плоскости симметрий не параллельны) будет поворот вокруг общей прямой плоскостей симметрий на удвоенный ориентированный угол между плоскостями симметрий. Отсюда понятно, что поворот вокруг оси можно представить композицией двух зеркальных симметрий. Плоскости симметрий должны обе содержать ось поворота, причём одну из этих плоскостей в остальном можно выбрать произвольно. Представим , выбрав плоскость β перпендикулярной плоскости α. Тогда . Заметим, что – осевая симметрия Su, где . Причём u||γ, т.к. u параллельна прямой ℓ, лежащей в плоскости γ. Su можно представить композицией двух зеркальных симметрий , где . При этом получится π||γ. Тогда , причём – вектор, перпендикулярный плоскостям γ и π, т.е. ||σ. Таким образом, – переносная симметрия.

Доказательство теоремы 7.1.б. Опять возьмём произвольную точку А, её образ А´ при движении f и плоскость ω симметрии точек А и А´. Тогда движение второго рода имеет неподвижную точку А. По теореме 7.2.а движение g – зеркальная симметрия или поворотная симметрия.

Если g – зеркальная симметрия, то f является композицией двух зеркальных симметрий. Кроме того f не имеет неподвижных точек, т.е. f – параллельный перенос.

Пусть теперь () – поворотная симметрия. Представим (), причём выберем . Тогда . Т.к. , , и – осевые симметрии. Итак, – композиция двух осевых симметрий.

Если a и b пересекаются, то у f есть неподвижная точка, что невозможно.

Если a и b параллельны, то f, как легко убедиться, – параллельный перенос.

Если а и b скрещиваются, то рассмотрим их общий перпендикуляр h и прямую p такую, что p проходит через точку пересечения h и a и p||b. Тогда, как легко убедиться, – поворот вокруг прямой h на некоторый угол, а – параллельный перенос на некоторый вектор . Поэтому – винтовое движение.


Пользуясь, полученными результатами получаем таблицу:







следующая страница >>