bigpo.ru
добавить свой файл
1
Лекция 6

Определение динамических характеристик промышленных объектов по экспериментальным частотным характеристикам.


Многообразие методов аппроксимации экспериментальных АФХ можно разделить на две группы – аналитические и графо-аналитические.

Существо аналитических методов заключается в использовании интерполяционной аппроксимации и принципов регрессионного анализа. В общем случае предполагают, что структура аппроксимирующей АФХ имеет вид:

, (1)

где , а число точек экспериментальной АФХ N равно , если - четное число, и равно , если - нечетно;

k – коэффициент передачи, определяемый обычно из переходной функции.

Для АФХ вида (1) условие интерполяционной аппроксимации будет иметь вид –

, (2)

После упрощений выражение (2) примет вид –

, (3)

Таким образом, получаем 2N линейных уравнений, и если порядки числителя и знаменателя выбраны в соответствии с числом экспериментально снятых точек АФХ (при нечетном берут одно из уравнений (3) для любой частоты ), то определение коэффициентов выражения (1) не вызывает принципиальных затруднений.

Так как при большом количестве экспериментальных данных система уравнений (3) становится громоздкой и невозможности адекватно компенсировать погрешности измерений в отдельных опытах интерполяционным методом, то для улучшения точности аппроксимации используют принципы регрессионного анализа. В этом случае по ряду экспериментальных точек (при условии n<5) находят значения коэффициентов выражения (1) интерполяционным методом, а затем производят их уточнение на множестве всех имеющихся экспериментальных точек АФХ методом наименьших квадратов –

, (4)

Принимая во внимание, что целью решения выражения (4) является поиск малых поправок к уже найденным коэффициентам выражения (1), используем для его преобразования первые члены разложения и в ряд Тейлора. В результате таких преобразований получим систему линейных уравнений, решением которой являются и -

(5)


Если полученная точность аппроксимации недостаточна, то необходимо изменить порядки числителя и знаменателя в выражении (1) и повторить процесс вычислений.


Во многих случаях технологические объекты могут быть представлены передаточной функцией вида –

(6).

Для объектов, применительно к которым можно использовать ограничения на выражение (6) по числу интегрирующих звеньев – не более 2, а на порядок , разработан достаточно простой алгоритм определения передаточной функции, базирующийся на вышеизложенных общих принципах применения аналитических методов аппроксимации. Его применение базируется на следующих теоретических положениях.

Так как коэффициенты ai стоят в знаменателе выражения (6), то задача их нахождения является нелинейной. Для ее перевода в класс более удобных линейных задач осуществим инверсию заданной передаточной функции, предположив при этом для простоты int=0:

, где , , i=1,...n. (7)

Определение b0 и bi в (7) является теперь линейной задачей оценки коэффициентов полинома. А найдя значения b0,…,bn можно легко найти параметры передаточной функции: , , i=1,...n.

В уравнение (7) подставим и, учитывая, что , запишем:

(8)

Из (8) можно получить два уравнения приравняв его действительные и мнимые части:

, (9).

Левые части уравнений (4) можно найти по экспериментальным данным. В правых частях коэффициенты bi – искомые параметры, а - экспериментальные величины. Следовательно, если воспользоваться методом наименьших квадратов, то вычислительная задача сводится к простейшему регрессионному анализу определения b0, b2, b4 из первой регрессии и b1, b3, b5 из второй.

Если частотная характеристика задана в прямоугольных координатах, то ее математическое выражение для случая инверсии имеет вид:

(10)

Из (10) легко определить выражения для левых частей уравнений (9):

, (11).

Если частотная характеристика задана в полярных координатах, то ее математическое выражение для случая инверсии примет вид:

(12)

Тогда выражения для левых частей уравнений (9) можно найти используя формулу Эйлера:

, (13)

Формулы (11) и (13) соответствуют объектам с самовыравниванием. Рассмотрим, как они будут меняться для объектов без самовыравнивания. Для случая задания частотной характеристики в прямоугольных координатах формулы (11) будут иметь вид:

а) при наличии одного интегрирующего звена -

, , (14)

б) при наличии двух интегрирующих звеньев –

, . (15)

Для случая задания частотной характеристики в полярных координатах формулы (8) будут иметь вид:

а) при наличии одного интегрирующего звена -

(16)

б) при наличии двух интегрирующих звеньев –

, (17)

Как было указано выше для нахождения коэффициентов передаточной функции нам необходимо решить уравнения (9). Так как данные уравнения сходны по своей структуре, то их можно записать в общем виде:

(18)

Обозначения указывает, что эта величина определяется через экспериментальные значения и неизвестные коэффициенты c1, с2, с3 . Индекс указывает, что соответствующие величины относятся к -й точке частотной характеристики.

Коэффициенты c1, с2, с3 при использовании метода наименьших квадратов находятся минимизацией суммы квадратов отклонений:

(19) ,

где - экспериментальная величина, определяемая по координатам -ой точки частотной характеристики,

N – количество экспериментальных точек частотной характеристики.

Система уравнений для определения c1, с2, с3 получается путем дифференцирования уравнения (19) с учетом зависимости (18) по ci и приравнивая производной нулю: .

(20)


Если в качестве используются значения , то искомые коэффициенты уравнения (9) соответствуют:

b0=c1, b2=-c2, b4=c3 (21).

Если в качестве используются значения , то искомые коэффициенты уравнения (9) соответствуют:

b1=c1 , b3=-c2, b5=c3. (22).

Если порядок аппроксимируемой передаточной функции n=5, то систему нормальных уравнений (20) придется решать дважды. Первый раз на основе экспериментальных данных полагают , находят и из (21) определяют . Второй раз полагают , находят и из (22) определяют .

Если задан порядок аппроксимации n=4, то для определения b0, b2, b4 решается система уравнений (20) при , а для определения b1, b3 система уравнений (20) трансформируется в систему из двух уравнений:

(23)

При этом , а коэффициенты находятся через в соответствии с (22).

Если n=3, то решаются две системы уравнений (23). В результате решения первой системы (при ) в соответствии с (21) определяют коэффициенты b0, b2 . В результате решения второй системы (при ) - коэффициенты b1, b3 в соответствии с (22).

При n=2 решается одна система уравнений вида (23) при , что позволяет определить коэффициенты b0, b2 , а для определения коэффициента решается уравнение:

(24), где , а .

При n=1 параметры передаточной функции определяются из уравнений вида (24) следующим образом:

, (25).

Анализ приведенного алгоритма показывает, что главная задача с точки зрения вычисления состоит в решении системы линейных уравнений.

^ Общий порядок вычислений по данному алгоритму следующий:

1. По измеренным значениям АФХ строят график частотной характеристики и определяют порядок аппроксимации n и значение переменной int.

Величина int равна числу квадрантов между положительной действительной осью и начальным участком частотной характеристики (АФХ) в направлении движения часовой стрелки. Порядок аппроксимации n равен числу квадрантов плоскости комплексной переменной, которые охватывает годограф при росте частоты от 0 до +.

2. По соответствующим формулам рассчитывают значения и ().

3. Определяют явный вид систем уравнений необходимых для определения коэффициентов аппроксимирующей передаточной функции путем расчета соответствующих сумм.

4. Решают системы уравнений и рассчитывают коэффициенты инверсной передаточной функции .

5. Рассчитывают коэффициенты искомой передаточной функции K и .

Проверка точности аппроксимации осуществляется путем разложения полученного аппроксимирующего выражения на выражения для измеренных в ходе эксперимента составляющих АФХ и сравнения расчетных значений с экспериментальными. Точность аппроксимации считается удовлетворительной, если справедливо неравенство –

, (26)

где - соответственно экспериментальное и расчетное значения первой и второй координат АФХ.


Существо графо-аналитических методов заключается в использовании аналитических зависимостей для нахождения коэффициентов аппроксимирующей передаточной функции в комплексе с определением значений ряда необходимых переменных непосредственно из графика частотной характеристики.

Одним из таких методов является метод, базирующийся на разложении экспериментальной и аппроксимирующей АФХ в ряд Тейлора в точке (точке, в которой ) и приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях -



(27)

Значения , и их производных определяют графическим путем в точке . После этого задаются аналитическим выражением для и вычислив его производные находят все неизвестные коэффициенты передаточной функции.

Практически данный метод удобно применять для объектов, АФХ которых соответствует выражению типа -

, (28)

где k – коэффициент передачи, определяемый из переходной характеристики.

Это объясняется тем, что для выражения вида (28) необходимо графически определять только первые производные , . Нахождение вторых и третьих производных , графически достаточно затруднительно, что не позволяет достичь на практике требуемой точности аппроксимации. Также точность аппроксимации снижается если мы вообще не будем учитывать производные , , то есть снизим порядок выражения (28) до второго.

Коэффициенты АФХ вида (28) находят по формулам –

; ; , (29)

где ОА, ОС, DE – определяются по графикам АЧХ и ФЧХ (рис.2).

Для проверки отсутствия в объекте звена чистого запаздывания (то есть предположения о том, что объект является минимально-фазовым) используют следующее равенство –

(30)

Если равенство (30) не выполняется, то из экспериментальной ФЧХ следует выделить составляющую . Для этого по подбирается , для которого справедливо равенство (30), находится - и из всех значений вычитается . После чего вычисление осуществляется по новому графику .




Рисунок 2 – К определению коэффициентов аппроксимирующей АФХ графо-аналитическим методом.


Балакирев В.С. и др. Экспериментальное определение динамических характеристик промышленных объектов управления. М. Энергия , 1967, 232 с.