bigpo.ru
добавить свой файл
  1 2 3 ... 7 8

1.2. Поверхностные акустические волны.

      ПАВ могут существовать вблизи свободной поверхности твердого тела или вблизи поверхности раздела двух различных тел. Известно пять видов ПАВ.
      Волны Релея, теоретически открытые Релеем в 1885 году, могут существовать в твердом теле вблизи его свободной поверхности, граничащей с вакуумом. Фазовая скорость таких волн направлена параллельно поверхности, а колеблющиеся вблизи нее частицы среды имеют как поперечную, перпендикулярную поверхности, так и продольную составляющие вектора смещения. Эти частицы описывают при своих колебаниях эллиптические траектории в плоскости, перпендикулярной поверхности и проходящей через направление фазовой скорости. Указанная плоскость называется сагиттальной. Амплитуды продольных и поперечных колебаний уменьшаются по мере удаления от поверхности вглубь среды по экспоненциальным законам с различными коэффициентами затухания. Это приводит к тому, что эллипс деформируется и поляризация вдали от поверхности может стать линейной. Проникновение волны Релея в глубину звукопровода составляет величину порядка длины поверхностной волны. Если волна Релея возбуждена в пьезоэлектрике, то как внутри него, так и над его поверхностью в вакууме будет существовать медленная волна электрического поля, вызванная прямым пьезоэффектом.
      Волны Стоунли (или Стонли), названные так по имени ученого, открывшего их в 1908 году, отличаются от волн Релея тем, что могут существовать вблизи границы раздела двух твердых сред, находящихся в акустическом контакте. При распространении волны Стоунли в колебаниях участвуют частицы и той и другой среды. При этом они также как и в волне Релея совершают эллиптическое движение в сагиттальной плоскости. Глубины проникновения волны Стоунли в контактирующие среды составляют величины порядка длины поверхностной волны.
      Волны Гуляева - Блюстейна (Блюхштейна) были открыты в 1968 г. в СССР Гуляевым Ю.В. и независимо в США Блюстейном. Они имеют два характерных признака. Во-первых, они существуют лишь в пьезоэлектрических кристаллах вблизи свободной границы и, во-вторых, частицы среды испытывают чисто поперечные колебания в направлении, параллельном поверхности ("горизонтальная" поляризация). Волны Гуляева-Блюстейна проникают в колеблющуюся среду более глубоко, чем волны Релея и Стоунли. Глубина их проникновения в объем твердого тела составляет величину порядка λзв ε / k2  , где ε- диэлектрическая проницаемость, k - коэффициент электромеханической связи (см. ниже). Благодаря прямому пьезоэффекту волна Гуляева-Блюстейна сопровождается медленной волной электрического поля в вакууме над поверхностью пьезоэлектрика.
      Волны Марфельда - Турнуа , открытые в 1971 году, отличаются от волн Гуляева-Блюстейна тем, что могут существовать вблизи границы раздела двух контактирующих пьезоэлектриков. Эти ПАВ также чисто сдвиговые и имеют "горизонтальную" поляризацию.
      Волны Лява (1926 г.) распространяются в тонком (порядка λзв) слое вещества, нанесенном на подложку, в которой скорость звука больше, чем в слое. Эти чисто сдвиговые волны имеют "горизонтальную" поляризацию и проникают в подложку на глубину порядка λ зв. Они обладают дисперсией, величина их скорости лежит между значениями скоростей звука в слое и в подложке.

1.3. Волноводные и канализированные волны.       Представителями волноводных акустических мод являются волны в тонких пластинках или пленках, обе поверхности которых свободны, а толщина имеет величину порядка длины упругой волны. Пластинка при этом выполняет функции планарного волновода, а сами волны по сути дела представляют собой нормальные волны в нем. Последние получили название волн Лэмба по имени ученого, открывшего их в 1916 году. Вектор смещения в волне Лэмба имеет как продольную, так и поперечную составляющие, причем поперечная составляющая нормальна к поверхностям волновода.
      Другими представителями волноводных мод являются нормальные акустические волны в тонких стержнях различного профиля (круглого, прямоугольного и др.). Канализированными акустическими волнами называются такие волны, которые могут распространяться как по каналам вдоль канавок и выступов различного профиля (прямоугольного, треугольного, полукруглого и др.), выполненных на свободной (не обязательно плоской) поверхности твердого тела, а также вдоль пространственного угла, образованного двумя гранями звукопровода. Для практики они привлекательны тем, что могут использоваться в акустических интегральных схемах.

2.УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЕ
                                        ПРОЦЕССЫ В ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКЕ


2.1. Уравнение движения упругодеформированной среды.

Если в твердом теле существуют упругие волны, то отдельные частицы, из которых состоит это тело, испытывают колебательное движение. В теории упругости вещество рассматривается как непрерывная, сплошная среда (континуум). В таком случае колебательному движению будет подвержен любой выделенный в среде элементарный объем и к нему можно применить 2-й закон Ньютона. Чтобы это сделать, рассмотрим в окрестности точки с радиусом-вектором r (см. рис.1) элементарный объем среды в виде


прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям прямоугольной системы координат x1, x2, x3 и имеют длины dx1,dx2,dx3. Со стороны окружающей среды на вещество, заключенное в объеме
dV=dx1 dx2 dx3 , действуют силы, обеспечивающие его ускорение. Пусть ∆Fi - сила, действующая на одну из обращенных к нам граней обьема dV, перпендикулярную i-ой оси. На противоположную грань будет действовать сила-(∆Fi-d(∆Fi)), где d(∆Fi) - приращение, обусловленное расстоянием dxi . Суммарная сила, действующая на весь объем , может быть записана как векторная сумма



Тогда 2-й закон Ньютона, описывающий движение элементарной массы, заключенной в объеме dV , примет в векторной форме вид

где ρ - плотность среды, которую для волн малых амплитуд можно считать постоянной величиной.
      Радиус-вектор r, имеющий компоненты x1, x2, x3 , отсчитывается от некоторого фиксированного начала координат и является функцией времени и начального радиуса-вектора r0 (см. рис.1) с компонентами x10, x20, x30. Смещение элементарного объема dV из начального положения характеризуется вектором u. Легко видеть, что
 
Если за начальное положение точек среды принять их невозмущенное состояние, то u будет вектором смещения из положения равновесия. Поскольку для рассматриваемого объема r0 = const , то d2r/dt2=d2u/dt2. На этом основании (1) примет вид

 
      При заданных d(∆Fi) это уравнение имеет решение u(t), описывающее движение некоторой материальной точки с начальными координатами x10, x20, x30 .Чтобы найти закон движения другой точки, необходимо в (2) сменить координаты xi0 и соответствующие приращения сил d(∆Fi). Если проделать такую замену многократно, то из уравнения (2) может быть получено дискретное распределение вектора смещения u в пространстве.
      Наша задача заключается в нахождении волн, которые могут существовать в данной упругой среде. Волна описывается непрерывной функцией от времени и координат, характеризующей точки пространства, не связанные с конкретной материальной частицей среды. Такое описание называется пространственным. Чтобы решить поставленную задачу, необходимо уравнение (2) видоизменить так, чтобы оно давало пространственное описание поля смещений. Такое видоизменение обычно называют переходом от материального описания (переменные Лагранжа) к пространственному (переменные Эйлера).
      Смещение u в данный момент времени для различных частиц среды будет различным, т.е. u есть функция радиуса-вектора r , характеризующего начальное положение точек среды. Начальные координаты этих точек, по сути дела, совпадают с координатами точек пространства. Поэтому величину u можно представить в пространственном описании как функцию времени и пространственных координат. В таком случае для компонент скорости в пространственном описании поля смещений будем иметь  


 Компоненты скорости vi в пространственном описании также представляют собой некоторую функцию vi(t, x1, x2, x3). Тогда компоненты ускорения dvi /dt , входящего в уравнение (2), можно записать следующим образом
 
где круглые скобки означают скалярное произведение. Если считать, что дрейфовое движение частиц среды отсутствует, то в случае волн малой амплитуды можно принять (v grad vi) = 0. На этом основании, переходя в (2) к пространственному описанию поля смещений, полную производную dv/dt следует приближенно заменить частной производной ∂v/dt . Учитывая также выражение (3), получим из (2)

 

       Обратимся теперь к правой части полученного уравнения. На рис.1 показаны компоненты сил ∆Fi , действующих на грани, перпендикулярные осям xi . Например, для грани, перпендикулярной оси xi, будем иметь следующие компоненты: Fi 1, ∆Fi 2,∆Fi 3. Первый индекс указывает номер оси, перпендикулярной грани, а второй - оси, параллельно которой направлена соответствующая компонента. В общем случае будем иметьFij. Воспользуемся понятием тензора упругого напряжения, компоненты которого определяются формулой
 
где ∆Si- элементарная площадка, перпендикулярная i-й оси. По смыслу величина Ti j является компонентой упругой силы, приходящейся на единицу площади соответствующей грани. Упругое напряжение как физическая величина представляется тензором второго ранга и в общем случае характеризуется 9-ю компонентами, величины которых зависят от выбора системы координат.
      Учитывая, что d(∆Fij)=dTij dSi из (4) для j-й компоненты смещения получим в пространственном описании уравнение движения в окончательном виде:
 
Для сокращения записи знак суммы в правой части полученного уравнения опущен, а свидетельством суммирования служит повторяющийся индекс i.


2.2. Уравнения состояния пьезоэлектрика.

        Имеется два феноменологических уравнения, описывающих в линейном приближении электромеханическое состояние пьезоэлектрической среды. Первое уравнение связывает компоненты тензора упругого напряжения T i j с компонентами тензора деформации S k l и компонентами вектора напряженности электрического поля E m .
                                       
         В нем CEi j k l и em i j - коэффициенты пропорциональности, являющиеся материальными константами. CEi j k l- компонента тензора четвертого ранга, называемого тензором модулей упругости (жесткости); верхний индекс E означает, что эта величина получена при E = const;      em i j- компонента тензора третьего ранга, называемого тензором пьезомодулей; Sk l - безразмерная деформация, связанная с компонентами вектора смещения u , формулой
                                                  
           Первое слагаемое в правой части уравнения (6) выражает известный закон Гука для упругой среды. Второе слагаемое описывает пьезоэффект, заключающийся в том, что электрическое поле порождает в пьезоэлектрике упругое напряжение. Заметим, что для кристалла и первое, и второе слагаемые в формуле (6) представляют собой суммы по повторяющимся индексам k , l и m , каждый из которых может принимать значения 1, 2, 3.
      Второе уравнение состояния пьезоэлектрика связывает компоненты вектора электрического смещения (индукции) D с компонентами тензора деформации S и вектора напряженности электрического поля E

                               

Коэффициентами пропорциональности здесь служат компоненты пьезоэлектрического тензора (пьезомодули) en k l и компоненты тензора диэлектрической проницаемости εSn m, найденные при S=const. В правой части уравнения (8) второе слагаемое связывает электрическую индукцию с напряженностью электрического поля как в диэлектрике. Первое слагаемое отражает опытный факт поляризации пьезоэлектрика под действием деформации даже в отсутствие внешнего электрического поля.

2.3. Уравнения Максвелла.

      При построении теории пьезоэлектрического преобразователя уравнения Максвелла используются в следующем виде:



<< предыдущая страница   следующая страница >>